5. (Đề kiểm tra học kì I, quận 12, Thành phố Hồ Chi Minh, năm học 2017 - 2018)Cho (O) đường kính...

{
"content1": "a, Ta có ∠BOC = 90° (đường kính AB) và AE//BC (E là trung điểm của BC). Do đó, ∠AEC = ∠ACB. Vậy tam giác ABC vuông tại C và OE vuông góc với BC.",
"content2": "b, Ta có ∠BDC = ∠BAC (cùng nằm trên cùng một cạnh cung BC và đường tròn (O)). Nhưng ∠BAC = ∠BOC (cung cấp bởi đường kính), nên ∠BDC = ∠BOC. Do đó, DB là tiếp tuyến của (O).",
"content3": "c, Kẻ AH vuông góc với BC tại H. Ta có CB là tiếp tuyến của (O), nên ∠C = ∠ACB. Từ đó, ∠AHC = 90° - ∠ACB = 90° - ∠C = ∠BCO. Vậy CB.OC = OD.HC.",
"content4": "d, Gọi F là giao điểm của BD và OC. Ta có ∠BFC = ∠BDC = ∠BOC = 90°. Do đó, CF vuông góc với AB. Từ đó, theo định lí Euclid trong tam giác vuông thì BF là đường cao của tam giác BCF, nên BC^2 = BF * CF. Từ đó, BC.OC = BD * DC = OD * HC.",
"content5": "e, Sử dụng định lí cosin trong tam giác ABC: BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2AB.AC.cos∠BAC. Vì ∠BAC = 90° (do đường kính AB) nên cos∠BAC = 0. Từ đó, BC^2 = AB^2 + AC^2. Nhưng BC = 2OE (vì E là trung điểm BC), nên (2OE)^2 = AB^2 + AC^2. Rút gọn ta có AB^2 + AC^2 = 4OE^2. Do đó, OD^2 + OC^2 = 4OE^2 (vì ∠ODC = 90°) => OD.HC = OC^2 - OD^2 = OC^2 - 4OE^2 = OC^2 - BC^2 = CB.OC.",
}