Bài tập 10.Giả sử năm đầu tiên, cô Hạnh gửi vào ngân hàng A (đồng) với lãi suất r%/năm. Hết...

Để chứng minh số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $Tn=\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{n}-1]$ (đồng), ta sử dụng phương pháp quy nạp như sau:

- Với n = 1:
Số tiền lãi cô Hạnh nhận được sau năm đầu tiên là: A x r% = $\frac{A\times r}{100}$ (đồng).
Số tiền nhận được sau năm đầu tiên là: $A + \frac{A\times r}{100} = \frac{A(100+r)}{100} = \frac{A(100+r)}{r}\times \frac{r}{100} = \frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})-1]$ (đồng).
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.

- Giả sử mệnh đề đúng với k là một số nguyên dương bất kỳ. Ta cần chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1:
Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k +1) (năm) là $T_{k+1}=\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k+1}-1]$ (đồng).
Chứng minh:
Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau k (năm) là: $T_k = \frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k}-1]$ (đồng).
Vì cô Hạnh không rút tiền ra và lại gửi thêm A (đồng) nữa nên:
Số tiền vốn của cô Hạnh sau (k + 1) năm là: $T_k + A$ (đồng).
Số tiền lãi cô Hạnh nhận được sau (k + 1) (năm) là: $(T_k + A) \times r\%$ (đồng).
Số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau (k + 1) (năm) là:$=(T_k + A) + (T_k + A) \times r\% \newline
= (T_k + A) \times (1+\frac{r}{100}) \newline
= \left(\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k}-1] + A\right) \times (1+\frac{r}{100}) \newline
= \frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k}-1] \times (1+\frac{r}{100}) + A \newline
= \frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k+1} - (1+\frac{r}{100})] + A\times \frac{100+r}{100} \newline
= \frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k+1} - (1+\frac{r}{100})] + A \times \frac{100+r}{r} \times \frac{r}{100} \newline
= \frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{k+1} - 1] = T_{k+1}$ (đồng).
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1.

Do đó, theo nguyên lý quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n là số nguyên dương. Điều này chứng minh mệnh đề đã đúng. Vậy số tiền cả vốn lẫn lãi mà cô Hạnh có được sau n (năm) là $Tn=\frac{A(100+r)}{r}[(1+\frac{r}{100})^{n}-1]$ (đồng).