Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia lớp 12 môn Toán năm 2019 sở GD và ĐT Lạng Sơn

Nội dung Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia lớp 12 môn Toán năm 2019 sở GD và ĐT Lạng Sơn Bản PDF

Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán lớp 12 năm 2019 sở GD và ĐT Lạng Sơn

Đề thi chọn đội tuyển tham dự kỳ thi HSG Quốc gia Toán lớp 12 năm 2019 của Sở Giáo dục và Đào tạo Lạng Sơn bao gồm một trang đề với năm bài toán tự luận. Thí sinh có thời gian làm bài là 180 phút (không tính thời gian giao đề). Kỳ thi được tổ chức vào ngày 24 tháng 08 năm 2018 và đề thi đi kèm lời giải chi tiết.

Trích một số câu hỏi từ đề thi:

1. Cho 2n^2 (n ≥ 2) đường thẳng trên mặt phẳng sao cho không có hai đường nào song song và không có ba đường nào đồng quy. Chúng ta cần chia mặt phẳng thành các miền rời nhau. Hỏi có thể tô n đường thẳng trong số 2n^2 đường đã cho bằng màu xanh sao cho không có miền nào trong tập F có tất cả các cạnh màu xanh.

2. Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn (O). Gọi M, N là trung điểm các cung nhỏ BC, AD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của OM, ON. Gọi K là điểm đối xứng với O qua M. Chứng minh rằng tứ giác BJDK nội tiếp đường tròn và AK ⊥ PQ trong đó P, Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên AB, AC.

3. Đa thức P(x) có hệ số nguyên, bậc 2 và hệ số bậc 2 bằng 1. Tìm tất cả các đa thức P(x) sao cho tồn tại đa thức Q(x) có hệ số nguyên sao cho P(x).Q(x) là đa thức có tất cả các hệ số đều là ±1. Chứng minh rằng nếu đa thức P(x) có nghiệm thực x0 thì |x0| < 2.

Đề thi chọn đội tuyển này mang tính chất thách thức cao, đòi hỏi thí sinh phải có kiến thức sâu rộng và khả năng suy luận logic tốt để giải quyết các bài toán phức tạp. Kỳ thi HSG Quốc gia Toán là sân chơi lớn cho các tài năng trẻ yêu toán ở cấp độ trung học phổ thông.