Giải bài tập chuyên đề toán lớp 10 chân trời sáng tạo: Bài tập cuối chuyên đề 2

1. Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi

n$\epsilon N*$

a, $1^3$+$2^3$+$3^3$+...+$n^3$=$\frac{n^2(n+1)^2}{4}$

b, 1.4+2.7+3.10+...+n(3n+1)=n$(n+1)^2$

c, $\frac{1}{1.3}$ + $\frac{1}{3.5}$ + $\frac{1}{5.7}$ +...+ $\frac{1}{(2n-1).(2n+1)}$=$\frac{n}{2n+1}$

2. Chứng minh rằng với mọi n$\epsilon N*$

a, $3^n$-1-2n chia hết chp 4

b, $7^n$-$4^n$-$3^n$ chia hết cho 12

3. Chứng minh rằng $8^n$ $\geq $ $n^3$ với mọi n $\epsilon N*$

4. Chứng minh rằng bất đẳng thức 1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$+...+ $\frac{1}{n}$ $\leq $ $\frac{n+1}{2}$ đúng với mọi n$\epsilon N*$

5. Với một bình rỗng có dung tích 2l, một bạn học sinh thực hiện thí nghiệm theo các bước như sau:

Bước 1: Rót 1l nước vào bình rồi rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Bước 2: Rót 1 l nước vào bình, rồi lại rót đi một nửa lượng nước trong bình.

Cứ như vậy, thực hiện các bước 3,4,...

Kí hiệu an là lượng nước có trong bình sau bước n(n∈ ℕ*).

a) Tính a1, a2, a3. Từ đó dự đoán công thức tính an với n∈ ℕ*

b) Chứng minh công thức trên bằng phương pháp quy nạp toán học.

6. Tìm hệ số của x3 trong khai triển:

a, $(1-3x)^8$

b, $(1+\frac{x}{2})^7$

7. Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển $(2x+3)(x-2)^2$

7. Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển $(2x+3)(x-2)^2$

8. a)Tìm ba số hạng đầu tiên trong khai triển của $(1 + 2x)^6$, các số hạng được viết theo thứ tự số mũ của x tăng dần

b) Sử dụng kết quả trên, hãy tính giá trị gần đúng của $1,02^6$

9. Trong khai triển biểu thức $(3x – 4)^{15}$ thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được

10. Chứng minh rằng các đẳng thức sau đúng với mọi n∈ ℕ*