1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ M là điểm bất kì trên cạnh BC kẻ MD$\perp $...
Câu hỏi:
1. Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ M là điểm bất kì trên cạnh BC kẻ MD $\perp $ AB, ME $\perp $ AC. Chứng minh 5 điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn
2. Cho tam giác ABC vuông tại A gọi D là điểm đối xứng với A qua cạnh BC. Chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Văn Huy
Để chứng minh 5 điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn:- Ta có ba tam giác vuông ADM, AEM, AHM có chung cạnh huyền AM, vì vậy 3 đỉnh góc vuông nằm trên đường tròn có đường kính là AM và trung điểm là O. Khi đó 5 điểm A, D, H, E cùng nằm trên đường tròn đường kính AM.Để chứng minh 4 điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn:- Gọi D là điểm đối xứng với A qua cạnh BC. Vì B đối xứng với C qua BC nên $\angle BAC$ đối xứng với $\angle BDC$ qua BC. Từ đó suy ra $BC \perp AD$ và $\angle ABC = \angle ADC = 90^\circ$.- Hai tam giác vuông BAC và BDC có chung cạnh huyền BC, nên 2 đỉnh góc vuông A, D cùng nằm trên đường tròn có đường kính là BC và trung điểm là O. Do đó 4 điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn đường kính BC.Như vậy, ta đã chứng minh được cả hai trường hợp ở câu hỏi.
Câu hỏi liên quan:
{ "content1": "Cách 1: Gọi O là trung điểm của cạnh BC, ta có AH vuông góc với BC tại H và AM vuông góc với BC tại M. Khi đó, tam giác AMH vuông tại M nên điểm M nằm trên đường tròn đường kính AH. Do đó, ta có 5 điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên đường tròn có đường kính AH.", "content2": "Cách 2: Gọi I là trung điểm của cạnh AC, ta có AI song song với HD. Khi đó, ta có 4 điểm A, D, H, I cùng nằm trên đường tròn có đường kính AD. Tương tự, ta có 4 điểm A, M, E, I cùng nằm trên đường tròn có đường kính AE. Do đó, 5 điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên đường tròn chứa cả 2 đường tròn trên.", "content3": "Cách 3: Ta có AH vuông góc với BC tại H và AM vuông góc với BC tại M. Khi đó, ta có 2 tam giác AHM và AHE đồng dạng (theo góc). Do đó, ta có $\frac{AM}{AE}=\frac{MH}{EH}$ và $\angle AMH = \angle AEH$. Từ đó, suy ra $\angle AMH = \angle AOH$. Như vậy, ta có 5 điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn chứa đường tròn có đường kính AH.", "content4": "Cách 4: Ta thấy rằng tam giác ABC và tam giác ADC đều vuông tại A. Khi đó, ta có góc ABC = góc ADC = 90 độ, vì vậy, 4 điểm A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn đường kính AC (đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC).", "content5": "Cách 5: Kẻ đường thẳng qua D song song với AC, giao BC tại E. Khi đó, ta có BD = DC và góc ABC = góc ADC = 90 độ (do AC song song với DE). Vì vậy, 4 điểm A, B, C, D nằm trên cùng một đường tròn đường kính AC (đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABDC)."}