4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Qua điểm M...
Câu hỏi:
4. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Kẻ các tiếp tuyến Ax, By của nửa đường tròn. Qua điểm M bất kì thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Ax, By theo thứ tự tại C và D.
Chứng minh rằng:
a, $\widehat{COD}=90^{0}$
b, CD = AC + BD
c, Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Thị Đạt
Phương pháp giải:1. Sử dụng tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau: $\angle AOB = 180^\circ$ và $\angle OAB = \angle OBA$.2. Tiếp theo, ta có $CM = CA$ và $DM = DB$, từ đó suy ra $CD = CM + MD = CA + BD$.3. Gọi bán kính của nửa đường tròn là R, ta có $OM = R$. Áp dụng hệ thức về đường cao cho tam giác COD vuông tại O, ta có $OM^2 = MC \cdot MD = AC \cdot BD = R^2$.4. Vì $OM^2$ không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn, nên ta suy ra tích AC.BD cũng không đổi.Câu trả lời:a. $\angle COD = 90^\circ$.b. $CD = AC + BD$.c. Tích AC.BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
Câu hỏi liên quan:
Chứng minh bằng định lí Ptolemy: Trong tứ giác nội tiếp ABCD, ta có AB.CD + BC.AD = AC.BD. Nhưng AB = AD, BC = CD (vì tam giác ABC và tam giác ACD đều vuông cân) nên điều phải chứng minh.
Gọi E là giao điểm của AD và BC. Khi đó, ta có tứ giác ACBE là tứ giác tứ diện nội tiếp và do đó, tích hai đường chéo là hằng số. Tức là AC.BD = AE.EC không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn.
Kẻ OA và OB là hai bán kính của nửa đường tròn. Khi đó, tam giác OAC và tam giác OBD là hai tam giác vuông cân tại A và B. Vì vậy, AC = AO và BD = BO. Từ đó, ta có CD = AC + BD.
Dễ thấy trong tam giác vuông ABC (vuông tại C), ta có hai góc BAC và BCA bằng 90 độ. Do đó, góc BAC + góc BCA = 90 độ. Nhưng góc BAC chính là góc COD nên góc COD = 90 độ.