Giải bài tập chuyên đề toán lớp 10 kết nối tri thức bài 4 nhị thức Newton

1.TAM GIÁC PASCAL

Hoạt động 1: Khai triển (a+b)^n, n thuộc {1;2;3;4;5}

Trong Bài 25 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 10 (bộ sách Kết nối tri thức với cuộc sống), ta đã biết:

(a + b)1 = a + b

(a + b)2 = a^2 + 2ab + b^2

(a + b)3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3

(a + b)4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4

(a + b)5 = a^5 + 5a^4b + 10a^3b^2 + 10a^2b^3 + 5ab^4 + b^5

Với n ∈ {1; 2: 3; 4; 5}, trong khai triển của mỗi nhị thức (a + b)^n:

a) Có bao nhiêu số hạng?

b) Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng bao nhiêu?

c) Số mũ của a và b thay đổi thế nào khi chuyển từ số hạng này đến số hạng tiếp theo, tính từ trái sang phải?

Hoạt động 2: Tam giác Pascal

Viết các hệ số của khai triển (a + b)^n với một số giá trị đầu tiên của n, trong bảng tam giác sau đây, gọi là tam giác Pascal

Hàng đầu quy ước gọi là hàng 0. Hàng n ứng với các hệ số trong khai triển nhị thức (a + b)n.

? Tìm các hàng 7 và 8 của tam giác Pascal.

Luyện tập 1: 

a, Sử dụng tam giác Pascal viết khai triển của (a+b)^7

b, Sử dụng tam giá Pascal viết khai triển của (2x-1)^4

Hoạt động 3: Tính chất của kCn 

a,Quan sát ba dòng đầu, hoàn thành tiếp hai dòng cuối theo mẫu

(a + b)1 = a + b = C01a+C01bC10a+C10b

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 = C02a2+C12ab+C02b2C20a2+C21ab+C20b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = C03a3+C13a2b+C23ab2+C03b3C30a3+C31a2b+C32ab2+C30b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 = ...

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5 = ...

Nhận xét rằng các hệ số khai triển của hai số hạng cách đều số hạng đầu và số hạng cuối luôn bằng nhau. Hãy so sánh, chẳng hạn,  Từ đó hãy dự đoán hệ thức giữa 

b) Dựa vào kết quả của HĐ3a, ta có thể viết những hàng đầu của tam giác Pascal dưới dạng:

 Từ tính chất của tam giác Pascal, hãy so sánhTừ đó hãy dự đoán hệ thức giữa 

2. CÔNG THỨC NHỊ THỨC NEWTON

Luyện tập 2: Khai triển (x-2y)^6

Luyện tập 3: Tìm hệ số của X^7 trong khai triển đa thức của (2-3x)^10

Vận dụng: 

a, Viết khai triển nhị thức Newton của (1+x)^n

b, Cho x=1 trong khai triển ở câu a, viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này và lưu ý rằng  chính là số tập con gồm k phần tử của một tập hơn có n phần tử.

c, Tương tự, cho x=-1 trong khai triển ở câu a, viết đẳng thức nhận được. Giải thích ý nghĩa của đẳng thức này.

BÀI TẬP

2.9. Sử dụng tam giá Pascal, viết khai triển:

a, (x-1)^5

b, (2x-3y)^4

2.10. Viết khai triển theo nhị thức Newton

a, (x+y)^6

b, (1-2y)^5

2.11.Tìm hệ số của x^8 trong khai triển của (2x-3)^10.

2.12. Biết hệ số của x^2 trong khai triển của (1-3x)^n là 90. Tìm n

2.13. Từ khai triển biểu thức (3x-5)^4 thành đa thức, hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận được.

2.14. Tìm các hệ số của x^5 trong khai triển thành đa thức của biểu thức

x(1-2x)^5 +X^2(1+3x)^10.

2.15. Tính tổng sau đây

2.16. Tìm số tự nhiên n thỏa mãn

2.17.Tìm số nguyên dương n sao cho 

2.18. Biết rằng (2+x)^100= a0 + a1x + a2x2 + ... + a100x^100. Với giá trị nào của k (0 ≤ k ≤ 100) thì ak Iớn nhất?