2.5.Chứng minh rằng nếu x > –1 thì$(1+x)^{n}$≥ 1+ nx với mọi số tự nhiên n.

Để chứng minh rằng nếu \( x > -1 \) thì \( (1+x)^{n} \geq 1 + nx \) với mọi số tự nhiên n, ta sử dụng phương pháp quy nạp như sau:

- Bước cơ bản: Với \( n = 1 \), ta có \( (1 + x)^{1} = 1 + x \). Điều này chứng minh được đẳng thức cho trường hợp cơ bản.

- Bước giả sử: Giả sử khẳng định đúng với n = k, tức là \( (1+x)^{k} \geq 1 + kx \).

- Bước chứng minh: Ta chứng minh khẳng định cũng đúng với n = k + 1, nghĩa là ta chứng minh \( (1+x)^{k+1} \geq 1 + (k+1)x \).

Sử dụng giả thiết quy nạp, ta có:
\( (1+x)^{k+1} = (1 + x) \cdot (1+x)^{k} \geq (1 + x)(1+ kx) = 1 + x + kx + kx^{2} > 1 + x + kx = 1 + (k + 1)x \)

Vậy khẳng định được chứng minh đúng với mọi số tự nhiên \( n \geq 1 \).