B - Tự luậnBài tập 1.31 trang 41 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT:Cho góc α thỏa...

Để giải bài toán này, ta đi tìm giá trị của sinα và cosα dựa trên điều kiện đã cho: $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi$, $cos\alpha = -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Ta có: $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$, suy ra $sin\alpha = \sqrt{1 - cos^{2}\alpha} = \sqrt{1 - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

a) $sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = sin\alpha cos\frac{\pi}{6} + cos\alpha sin\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \times \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$

b) $cos(\alpha + \frac{\pi}{6}) = cos\alpha cos\frac{\pi}{6} - sin\alpha sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{6}}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{-3 - \sqrt{6}}{6}$

c) $sin(\alpha - \frac{\pi}{3}) = sin\alpha cos\frac{\pi}{3} - cos\alpha sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{6}}{3} \times \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{6} + 3}{6}$

d) $cos(\alpha - \frac{\pi}{6}) = cos\alpha cos\frac{\pi}{6} + sin\alpha sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{6}}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{-3 + \sqrt{6}}{6}$

Vậy, giá trị của các biểu thức đã cho lần lượt là:
a) $\frac{3\sqrt{2} - \sqrt{3}}{6}$
b) $\frac{-3 - \sqrt{6}}{6}$
c) $\frac{\sqrt{6} + 3}{6}$
d) $\frac{-3 + \sqrt{6}}{6}$