Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 16 Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm 

Hoạt động 1 trang 111 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết khái niệm giới hạn tại một điểm

Cho hàm số $f(x)=\frac{4-x^{2}}{x-2}$

a) Tìm tập xác định của hàm số f(x)

b) Cho dãy số $x_{n}=\frac{2n+1}{n}$. Rút gọn $f(x_{n})$ và tính giới hạn của dãy $(u_{n})$ với $u_{n}=f(x_{n})$

c) Với dãy số $(x_{n})$ bất kì sao cho $x_{n}\neq 2$ và $x_{n}\rightarrow 2$, tính $f(x_{n})$ và tìm $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})$

Luyện tập 1 trang 113 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính $\underset{n\rightarrow 1 }{lim}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$

Hoạt động 2 trang 113 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết khái niệm giới hạn một bên

Cho hàm số $f(x)=\frac{|x-1|}{x-1}$

a) Cho $x_{n}=\frac{n}{n+1}$ và $x'_{n}=\frac{n+1}{n}$. Tính $y_{n}=f(x_{n})$ và $y'_{n}=f(x'_{n})$

b) Tìm giới hạn của các dãy số $(y_{n})$ và $(y'_{n})$

c) Cho các dãy số $(x_{n})$ và $(x'_{n})$ bất kì sao cho $x_{n}<1<x'_{n}$ và $x_{n}\rightarrow 1,x'_{n}\rightarrow 1$, tính $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})$ và $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x'_{n})$

Luyện tập 2 trang 113 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}-x nếu x<0\\ \sqrt{x}nếu x\geq 0\end{matrix}\right.$

Tính $\underset{x\rightarrow 0^{+}}{lim}f(x), \underset{x\rightarrow 0^{-}}{lim}f(x)$ và $\underset{x\rightarrow 0}{lim}f(x)$

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

Hoạt động 3 trang 114 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết khái niệm giới hạn tại vô cực

Cho hàm số $f(x)=1+\frac{2}{x-1}$ có đồ thị như Hình 5.4

Giả sử $(x_{n})$ là dãy số sao cho $x_{n}>1,x_{n}\rightarrow +\infty $. Tính $f(x_{n})$ và tìm $\underset{n\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})$

Luyện tập 3 trang 115 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x+1}$

Vận dụng trang 115 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho tam giác vuông OAB với A = (a;0) và B = (0;1) như Hình 5.5. Đường cao OH có độ dài là h

a) Tính h theo a

b) Khi điểm A dịch chuyển về O, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

c) Khi A dịch chuyển ra vô cực theo chiều dương của trục Ox, điểm H thay đổi thế nào? Tại sao?

3. Giới hạn vô cực của hàm số tại một điểm

Hoạt động 4 trang 115 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Nhận biết khái niệm giới hạn vô cực

Xét hàm số $f(x)=\frac{1}{x^{2}}$ có đồ thị như Hình 5.6

Cho $x_{n}=\frac{1}{n}$, chứng tỏ rằng $f(x_{n})\rightarrow +\infty $

Hoạt động 5 trang 116 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hàm số $f(x)=\frac{1}{x-1}$. Với các dãy số $(x_{n})$ và $(x'_{n})$ cho bởi $x_{n}=1+\frac{1}{n},x'_{n}=1-\frac{1}{n}$, tính $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x_{n})$ và $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}f(x'_{n})$

Luyện tập 4 trang 116 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính các giới hạn

a) $\underset{x\rightarrow  0}{lim}\frac{2}{|x|}$

b) $\underset{x\rightarrow 2^{-} }{lim}\frac{1}{\sqrt{2-x}}$

Luyện tập 5 trang 118 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính $\underset{x\rightarrow 2^{+}}{lim}\frac{2x-1}{x-2}$ và $\underset{x\rightarrow 2^{-}}{lim}\frac{2x-1}{x-2}$

Bài tập

Bài tập 5.7 trang 118 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hai hàm số $f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}$ và g(x) = x + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

a) f(x) = g(x)

b) $\underset{x\rightarrow 1}{lim}f(x)=\underset{x\rightarrow 1}{lim}g(x)$

Bài tập 5.8 trang 118 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{(x+2)^{2}-4}{x}$

b) $\underset{x\rightarrow 0}{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+9}-3}{x^{2}}$

Bài tập 5.9 trang 118 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hàm số $H(t)=\left\{\begin{matrix}0 nếu t<0\\ 1 nếu t\geq 0\end{matrix}\right.$ (hàm Heaviside, thường được dùng để mô tả việc chuyển trạng thái tắt/ mở của dòng điện tại thời điểm t = 0)

Tính $\underset{t\rightarrow 0^{+}}{lim}H(t)$ và $\underset{t\rightarrow 0^{-}}{lim}H(t)$

Bài tập 5.10 trang 118 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính các giới hạn một bên:

a) $\underset{t\rightarrow 1^{+}}{lim}\frac{x-2}{x-1}$

b) $\underset{t\rightarrow 4^{-}}{lim}\frac{x^{2}-x+1}{4-x}$

Bài tập 5.11 trang 118 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hàm số $g(x)=\frac{x^{2}-5x+6}{|x-2|}$ 

Tìm $\underset{t\rightarrow 2^{+}}{lim}g(x)$ và $\underset{t\rightarrow 2^{-}}{lim}g(x)$

Bài tập 5.12 trang 118 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{1-2x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

b) $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}(\sqrt{x^{2}+x+2}-x)$

Bài tập 5.13 trang 118 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Cho hàm số $f(x)=\frac{2}{(x-1)(x-2)}$

Tìm $\underset{x\rightarrow 2^{+} }{lim}f(x)$ và $\underset{x\rightarrow 2^{-} }{lim}f(x)$