Luyện tập 1 trang 113 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính $\underset{n\rightarrow 1...

Để tính $\underset{n\rightarrow 1 }{lim}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$, ta có thể áp dụng cách biến đổi tử số và mẫu số để giải bài toán này.

Phương pháp giải 1:
Ta có thể biến đổi tử số và mẫu số để rút gọn biểu thức ban đầu:
$$
\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{x-1}{\sqrt{x}-1} \cdot \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+1} = \frac{x^2-1}{x-1}
$$
Khi đó, ta được:
$$
\underset{n\rightarrow 1 }{lim}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \underset{n\rightarrow 1 }{lim}\frac{x^2-1}{x-1} = \underset{n\rightarrow 1 }{lim}(x+1) = 2
$$

Phương pháp giải 2:
Ta có thể áp dụng công thức cực trị:
$$
\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \frac{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)}{\sqrt{x}-1} = \sqrt{x}+1
$$
Khi đó, ta được:
$$
\underset{n\rightarrow 1 }{lim}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = \underset{n\rightarrow 1 }{lim}(\sqrt{x}+1) = 2
$$

Vậy, $\underset{n\rightarrow 1 }{lim}\frac{x-1}{\sqrt{x}-1} = 2$.