Luyện tập 3 trang 115 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 1 KNTT: Tính $\underset{x\rightarrow...

Để tính giới hạn $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x+1}$, ta có thể áp dụng phương pháp đổi biến hoặc phân biệt dấu vô hướng:

Phương pháp đổi biến:
Ta thấy rằng $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x+1} = \underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^{2}(1+\frac{2}{x^{2}})}}{x(1+\frac{1}{x})}$.

Simplifying, ta có: $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^{2}(1+\frac{2}{x^{2}})}}{x(1+\frac{1}{x})} = \underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{x\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}{x(1+\frac{1}{x})} = \underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}}{1+\frac{1}{x}} = \underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\sqrt{\frac{1}{1+\frac{1}{x}}} = 1$.

Vậy kết quả là $1$.

Phương pháp phân biệt dấu vô hướng:
Chúng ta có thể phân biệt dấu vô hướng cho hàm số bên trong căn, sau đó áp dụng nguyên lý nhân với số hội của 1. Từ đó dẫn đến kết quả là 1.

Vậy $\underset{x\rightarrow +\infty }{lim}\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{x+1} = 1$.