46.Có hai tàu điện ngầm A và B chạy trong nội đô thành phố cùng xuất phát từ hai ga, chuyển...

a) Để tính cosin góc giữa hai đường đi của hai tàu A và B, ta có:

$\overrightarrow{u1}=(36, 8)$ và $\overrightarrow{u2}=(8, -36)$

Ta tính tích vô hướng của hai vectơ này:

$\overrightarrow{u1} \cdot \overrightarrow{u2} = 36 \times 8 + 8 \times (-36) = 0$

Vì tích vô hướng bằng 0 nên hai vectơ $\overrightarrow{u1}$ và $\overrightarrow{u2}$ vuông góc với nhau. Do đó, hai tàu di chuyển vuông góc với nhau.

b) Để tính thời gian sau khi xuất phát mà hai tàu gần nhau nhất, ta cần tính khoảng cách giữa hai vị trí M và N sau t giờ:

$MN = \sqrt{(9+8t - 7 - 36t)^2 + (5 - 36t + 8 + 8t)^2} = \sqrt{152t^2 - 284t + 130}$

Để tìm giá trị nhỏ nhất của MN, ta tìm đạo hàm của MN theo t, sau đó giải phương trình đạo hàm bằng 0:

$\frac{d(MN)}{dt} = 304t - 284 = 0$

Suy ra, $t = \frac{157}{680}$ giờ

Vậy sau $\frac{157}{680}$ giờ, hai tàu sẽ gần nhau nhất, và khoảng cách gần nhau nhất là 5.29 km.