7.34.Cho parabol (P) có phương trình là y$^{2}$= 16x. Gọi Δ là đường thẳng bất kì đi...

Phương pháp giải:

Để chứng minh rằng đường thẳng Δ luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B và tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi, ta thực hiện các bước sau:
1. Gọi vectơ chỉ phương của Δ là $\overrightarrow{u_{\Delta}}=(a;b)$. Vì Δ đi qua điểm F(4; 0) và Δ không trùng với trục Ox nên ta có b ≠ 0. Phương trình tham số của Δ là $\left\{\begin{matrix}x=4+at\\ y=0+bt=bt\end{matrix}\right.$.
2. Tìm toạ độ giao điểm của Δ và (P) bằng cách giải phương trình: $(bt)^{2}= 16(4 + at) \Rightarrow b^{2}t^{2} - 16at - 64 = 0$.
3. Phương trình trên luôn có hai nghiệm phân biệt do $Δ' = 64a^{2} + 64b^{2} > 0$, suy ra Δ luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B.
4. Gọi A(4 + at1; bt1) và B(4 + at2; bt2) là hai điểm cắt. Tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành bằng: $d(A, Ox) \cdot d(B, Ox) = |b^{2} \cdot t1t2| = 64$, với $t1t2 = \frac{-64}{b^{2}}$.
5. Do đó, tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi là 64.

Vậy câu trả lời cho câu hỏi là: Đường thẳng Δ luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B và tích các khoảng cách từ A và B đến trục hoành không đổi là 64.