7.36.Cho điểm M(x0; y0) thuộc elip (E) có phương...

Phương pháp giải:

a) Ta có phương trình chính tắc của elip là $\frac{x^{2}}{2}+\frac{y^{2}}{1}=1$. Do đó, a = $\sqrt{2}$, b = 1, c = $\sqrt{a^{2}-b^{2}}=\sqrt{2-1}=1$. Điểm tiêu biểu trên elip là F1(-1;0) và F2(1;0).

Tính $MF1^{2}$ và $MF2^{2}$:
$MF1^{2} = (x0 + 1)^{2} + y0^{2} = (x0 + 1)^{2} + y0^{2}$
$MF2^{2} = (x0 - 1)^{2} + y0^{2} = (x0 - 1)^{2} + y0^{2}$

Tính $MF1^{2} – MF2^{2}$
$= (x0 + 1)^{2} + y0^{2} – [(x0 - 1)^{2} + y0^{2}]$
$= (x0 + 1)^{2} – (x0 - 1)^{2}$
$= x0^{2} + 2x0 + 1 – (x0^{2} – 2x0 + 1)$
$= 4x0$

Từ đó, ta tính được $MF1 = \sqrt{2} + \frac{x0}{\sqrt{2}}$ và $MF2 = \sqrt{2} - \frac{x0}{\sqrt{2}}$.

b) Để tìm điểm M sao cho $MF2 = 2MF1$, ta giải phương trình: $\sqrt{2} - \frac{x0}{\sqrt{2}} = 2(\sqrt{2} + \frac{x0}{\sqrt{2}})$ và tính được x0 = -2/3. Kết hợp với phương trình elip, ta tìm được M(-2/3; $\frac{\sqrt{7}}{3}$) hoặc M(-2/3; $-\frac{\sqrt{7}}{3}$).

c) Để tìm góc nhìn lớn nhất của M tới hai điểm F1 và F2, ta áp dụng định lí côsin trong tam giác MF1F2. Tính cos của góc F1MF2 để được góc nhìn lớn nhất. Kết quả là góc nhìn lớn nhất là 90 độ, khi và chỉ khi M(0;1) hoặc M(0;-1).

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên là:
a) $MF1^{2} – MF2^{2} = 4x0$, $MF1 = \sqrt{2} + \frac{x0}{\sqrt{2}}$, $MF2 = \sqrt{2} - \frac{x0}{\sqrt{2}}$.
b) M(-2/3; $\frac{\sqrt{7}}{3}$) hoặc M(-2/3; $-\frac{\sqrt{7}}{3}$).
c) Góc nhìn lớn nhất là 90 độ khi M(0;1) hoặc M(0;-1).