Bài tập 10. Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc ở giữa AC và BD bằng...
Câu hỏi:
Bài tập 10. Cho tứ giác lồi ABCD có các đường chéo AC = x, BD = y và góc ở giữa AC và BD bằng $\alpha$. Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD.
a. Chứng minh S = $\frac{x}{y}$sin$\alpha$
b. Nêu kết quả trong trường hợp AC $\perp$ BD.
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Vương
a. Cách làm 1:Ta có:$S_{ABCD}$ = $S_{ABD}$ + $S_{CBD}$Vẽ AH và CK vuông góc với BD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Ta có AH = AI.sin$\alpha$; CK = CI.sin$\alpha$$S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$AH.BD + $\frac{1}{2}$CK.BD= $\frac{1}{2}$BD(AH + CK)= $\frac{1}{2}$BD(AI + IC).sin$\alpha$= $\frac{1}{2}$BD.ACsin$\alpha$$\Rightarrow$ S = $\frac{x}{y}$sin$\alpha$ (đpcm)b. Nếu AC $\perp$ BD thì sin$\alpha$ = 1, khi đó S = $\frac{xy}{2}$. Vậy nếu tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau thì diện tích của tứ giác bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.---Câu trả lời hoàn chỉnh và chi tiết hơn:a. Để chứng minh rằng $S_{ABCD} = \frac{x}{y}$sin$\alpha$, ta sử dụng công thức tính diện tích của một tứ giác lồi bất kỳ ABCD:$S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{CBD}$Tiếp theo, chúng ta vẽ hai đường cao AH và CK của tứ giác ABCD kẻ từ điểm A và C đến đường chéo BD. Gọi I là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Khi đó, ta có $AH = AI$sin$\alpha$ và $CK = CI$sin$\alpha$.Áp dụng công thức diện tích tam giác, ta tính được $S_{ABCD}$ = $\frac{1}{2}$$AH$$\cdot$$BD$ + $\frac{1}{2}$$CK$$\cdot$$BD$ = $\frac{1}{2}$$BD$($AH$ + $CK$) = $\frac{1}{2}$$BD$($AI$ + $IC$)sin$\alpha$ = $\frac{1}{2}$$BD$$\cdot$$AC$sin$\alpha$ = $\frac{x}{y}$sin$\alpha$Vậy, ta đã chứng minh được $S_{ABCD} = \frac{x}{y}$sin$\alpha$.b. Trong trường hợp $AC$ $\perp$ $BD$ thì góc $\alpha = 90^{\circ}$ và sin$\alpha$ = 1. Do đó, từ kết quả đã chứng minh ở câu (a), ta có $S_{ABCD} = \frac{x}{y}$sin$\alpha$ = $\frac{xy}{2}$. Vậy nếu tứ giác lồi ABCD có hai đường chéo $AC$ và $BD$ vuông góc với nhau, diện tích của tứ giác sẽ bằng một nửa tích độ dài của hai đường chéo.
Câu hỏi liên quan:
- Bài tập 1. Tính độ dài cạnh x trong các tam giác sau:
- Bài tập 2. Tính độ dài cạnh c trong tam giác ABC ở Hình 14.
- Bài tập 3. Cho tam giác ABC, biết cạnh a = 152,$\widehat{B}$ =...
- Bài tập 4. Một công viên có dạng hình tam giác với các kích thước như Hình 15. Tính số đo các góc...
- Bài tập 5. Tính diện tích một lá cờ hình tam giác cân có độ dài cạnh bên là 90cm và góc ở đỉnh...
- Bài tập 6. Cho tam giác ABC có AB = 6, AC = 8 và$\widehat{A} = 60^{\circ}$.a. Tính diện...
- Bài tập 7. Cho tam giác ABC có trọng tâm G và độ dài ba cạnh AB; BC; CA lần lượt là 15, 18, 27.a....
- Bài tập 8. Cho$h_{a}$ là đường cao vẽ từ đỉnh A, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp...
- Bài tập 9. Cho tam giác ABC có góc B nhọn, AD và CE là hai đường cao.a. Chứng minh...
{ "content1": "Để chứng minh S = $\\frac{x}{y}$sin$\\alpha$, ta xét tam giác ABC và tam giác ADC.", "content2": "Ta có S = S(ABC) + S(ADC) = $\\frac{1}{2}$AC*BC*sin$\\alpha$ + $\\frac{1}{2}$AD*DC*sin$\\alpha$ = $\\frac{1}{2}$x*y*sin$\\alpha$ = $\\frac{x}{y}$sin$\\alpha$.", "content3": "Kết quả trong trường hợp AC $\perp$ BD: Xét tam giác ABC vuông tại A và tam giác ADC vuông tại D, ta sẽ có x = AC = AB + BC và y = BD = AD + DC.", "content4": "Do đó, S = $\\frac{1}{2}$AC*BD = $\\frac{1}{2}$(AB+BC)(AD+DC) = $\\frac{1}{2}$AB*AD + AB*DC + BC*AD + BC*DC = S(ABC) + S(ADC) = S tứ giác ABCD."}