Câu 14: Trang 72 - sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 2a) Chứng minh rằng đường kính đi qua điểm...

Để chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì đi qua trung điểm của dây căng cung đó, ta thực hiện các bước sau:
1. Vì I là điểm chính giữa của cung AB, suy ra cung IA = cung IB => IA = IB (liên hệ giữa cung và dây)
2. Cùng với OA = OB (bán kính), suy ra đường kính IK là đường trung trực của dây AB => HA = HB (đpcm)

Mệnh đề đảo là: Đường kính đi qua trung điểm của một dây thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.
Chứng minh: Vì tam giác OAB cân tại O và HA = HB, nên OH là đường phân giác của góc AOB. Suy ra góc O1 = góc O2. Từ đó suy ra cung IA = cung IB. Tuy nhiên, điều này không thể xảy ra khi dây AB đi qua tâm O của đường tròn. Vậy phải thêm điều kiện để mệnh đề đảo đúng là: Đường kính đi qua trung điểm của một dây không đi qua tâm thì đi qua điểm chính giữa của cung căng dây đó.

Đối với việc chứng minh rằng đường kính đi qua điểm chính giữa của một cung thì vuông góc với dây căng cung đó và ngược lại, ta thực hiện các bước sau:
1. I là điểm chính giữa cung AB => cung IA = cung IB => IA = IB => I nằm trên trung trực của AB
2. OA = OB (bán kính) => O nằm trên trung trực của AB
3. Từ (1) và (2), suy ra OI là đường trung trực của AB => OI vuông góc với AB (đpcm)

Ngược lại, ta có dây cung AB, bán kính OI vuông góc với AB, cần chứng minh I là điểm chính giữa cung AB.
Xét tam giác OAB cân tại O (OA = OB) có OH là đường cao => OH đồng thời là đường phân giác => góc O1 = góc O2 => cung IA = cung IB (định lý về góc ở tâm) => Điểm I là điểm chính giữa cung AB (đpcm)