7.29. Cho hai đa thức $A = 3x^{4}+x^{3}+6x-5$ và $B=x^{2}+1$. Tìm thương Q và dư R trong phép chia...

Để thực hiện phép chia đa thức, ta thực hiện theo các bước sau:
Bước 1: Chia đa thức A cho đa thức B bằng cách sử dụng phương pháp chia đa thức bình thường.
Bước 2: Tìm thương Q và dư R.
Bước 3: Kiểm tra lại phép chia bằng cách nhân thương Q với đa thức B và cộng dư R.

Ta thực hiện phép chia đa thức A cho đa thức B:
$(3x^{4}+x^{3}+6x-5):(x^{2}+1)$

Do hệ số của $x^{4}$ trong A lớn hơn hoặc bằng hệ số của $x^{2}$ trong B nên ta có $Q=3x^{2}$ và thực hiện phép chia như sau:

$
\begin{array}{r|llll}
3x^{2} & | & 3x^{4} & +x^{3} & +6x & -5 \\
& & 3x^{4} & & 3x^{2} & \\
\cline{3-5}
& & & x^{3} & +6x & \\
& & & x^{3} & & \\
\cline{4-4}
& & & & 6x & -5 \\
& & & & 6x & \\
\cline{5-5}
& & & & & -5 \\
\end{array}
$

Từ đó, ta có thương Q = $3x^{2}$ và dư R = -5.

Kiểm tra lại:
$BQ + R = (x^{2}+1)(3x^{2}) -5 = 3x^{4}+3x^{2}-5$

Do đó, ta thấy A = BQ + R được chứng minh.

Câu trả lời cho câu hỏi là: Ta được thương là $Q=3x^{2}$ và dư là $R=-5$. Kiểm nghiệm lại: $BQ + R = (x^{2}+1)(3x^{2}) -5 = 3x^{4}+3x^{2}-5 = A$. Điều này chứng minh rằng phương pháp chia đa thức đã được thực hiện đúng.