Bài tập 3.29 trang 44 sách bài tập (SBT) toán lớp 8 tập 1 kết nối:Gọi H là giao của ba đường cao AI...

Phương pháp giải:
a) Ta có NM // AC hay MN // AP (do P ∈ BC)
MP // AB hay MP // AN (do N ∈ AB)
Tức là tứ giác ANMP là hình bình hành.

b) Để ANMP là hình thoi thì tia AM phải là tia phân giác của góc A.

c) Để ANMP là hình chữ nhật thì hình bình hành ANMP phải có 1 góc vuông. Khi đó, góc A phải vuông, tức là tam giác ABC vuông tại A.

d) Khi góc A là góc vuông, ANMP là hình chữ nhật nên AM = NP. Vậy NP ngắn nhất khi AM ngắn nhất, lúc này AM là đường cao của tam giác ABC.

e) Tứ giác ANMP là hình vuông thì nó phải là hình chữ nhật và là hình thoi, tức là tam giác ABC vuông tại A và có tia AM là phân giác của góc A.

Vậy khi góc A của tam giác ABC là góc tù, công thức $\frac{HI}{AI}=\frac{HJ}{BJ}=\frac{HK}{CK}=1$ không còn đúng nữa.