Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 2 Giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Câu hỏi mở đầu

Hình bên biểu diễn xích đu IA có độ dài 2m dao động quanh trục IO vuông góc với trục Ox trên mặt đất và A' là hình chiếu của A lên Ox. Toạ độ s của A' trên trục Ox được gọi là li độ A và (IO,IA) = $\alpha $ được gọi là li độ góc của A. Làm các nào để tính li độ dựa vào li độ góc?

1. Giá trị lượng giác của góc lượng giác

Khám phá 1 trang 13 toán lớp 11 Chân trời: Trong Hình 1, M và N lần lượt là các điểm biểu diễn của các góc lượng giác $\frac{2\pi }{3}$ và $\frac{-\pi }{4}$ trên đường tròn lượng giác. Xác định toạ độ của M và N trong hệ trục toạ độ Oxy.

Thực hành 1 trang 15 toán lớp 11 Chân trời: Tính $sin\left ( -\frac{2\pi }{3} \right )$ và $tan\left ( 495^{o} \right )$

2. Tính giá trị lượng giác của một góc bằng máy tính cầm tay

Thực hành 2 trang 16 toán lớp 11 Chân trời: Sử dụng máy tính cầm tay để tính $cos75^{o}$ và $tan\left ( \frac{-19\pi }{6} \right )$.

3. Hệ thức cơ bản giữa các giá trị lượng giác của một góc lượng giác

Khám phá 2 trang 16 toán lớp 11 Chân trời: 

a) Trong Hình 5, M là điểm biểu diễn của góc lượng giác $\alpha $ trên đường tròn lượng giác. Giải thích vì sao $sin^{2}\alpha  + cos^{2}\alpha = 1 $.

b) Khi $cos\alpha  \neq 0$, chia cả hai vế của biểu thức câu a) cho $cos^{2}\alpha$ ta được đẳng thức nào?

c) Khi $sin\alpha  \neq 0$, chia cả hai vế của biểu thức câu a) cho $sin^{2}\alpha$ ta được đẳng thức nào?

Thực hành 3 trang 17 toán lớp 11 Chân trời: Cho $tan\alpha =\frac{2}{3}$ với $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$. Tính $cos\alpha $ và $sin\alpha $

4. Giá trị lượng giác của các góc lượng giác có liên quan đặc biệt

Thực hành 4 trang 19 toán lớp 11 Chân trời: 

a) Biểu diễn $cos638^{o}$ qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ $0^{o}$ đến $45^{o}$

b) Biểu diễn $cot\frac{19\pi }{5}$ qua giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$

Vận dụng trang 19 toán lớp 11 Chân trời: Trong Hình 11, vị trí cabin mà Bình và Cường ngồi trên vòng quay được đánh dấu với điểm B và C.

a) Chứng minh rằng chiều cao từ điểm B đến mặt đất bằng (13 + 10sin$\alpha $) mét với $\alpha $ là số đo của một góc lượng giác tia đầu OA, tia cuối OB. Tính độ cao của điểm B so vói mặt đất khi $\alpha = -30^{o}$

b) Khi điểm B cách mặt đất 4m thì điểm C cách mặt đất bao nhiêu mét? Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm

Bài tập

Bài tập 1 trang 19 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không?

a) $sin\alpha = \frac{3}{5}$ và $cos\alpha = -\frac{4}{5}$

b) $sin\alpha = \frac{1}{3}$ và $cot\alpha = \frac{1}{2}$

c) $tan\alpha = 3$ và $cot\alpha = \frac{1}{3}$

Bài tập 2 trang 19 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho $sin\alpha = \frac{12}{13}$ và  $cos\alpha = \frac{-5}{13}$. Tính $sin\left (- \frac{15\pi }{2} -\alpha \right ) - cos\left ( 13\pi +\alpha  \right )$

Bài tập 3 trang 19 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha $, nếu:

a) $sin\alpha = \frac{5}{13}$ và $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $

b) $cos\alpha = \frac{2}{5}$ và $0^{o}<\alpha <90^{o}$

c) $tan\alpha = \sqrt{3}$ và $\pi < \alpha <  \frac{3\pi }{2} $

d) $cot\alpha = \frac{1}{2}$ và $270^{o}<\alpha <360^{o}$

Bài tập 4 trang 19 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Biểu diễn các giá trị lượng giác sau qua các giá trị lượng giác của góc có số đo từ 0 đến $\frac{\pi }{4}$ hoặc từ $0^{o}$ đến $45^{o}$ và tính:

a) $cos\frac{21\pi }{6}$

b) $sin\frac{129\pi }{4}$

c) $tan1020^{o}$

Bài tập 5 trang 19 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Chứng minh các đẳng thức lượng giác sau:

a) $sin^{4}\alpha  - cos^{4}\alpha = 1 - 2cos^{2}\alpha $

b) $tan\alpha  + cot\alpha  = \frac{1}{sin\alpha .cos\alpha }$

Bài tập 6 trang 19 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\frac{1}{tan\alpha +1}+\frac{1}{cot\alpha + 1}$

b) $cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )-sin(\pi +\alpha )$

c) $sin(\alpha -\frac{\pi }{2}) + cos(-\alpha +6\pi ) - tan(\alpha +\pi )cot(3\pi -\alpha )$

Bài tập 7 trang 20 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Thanh OM quay ngược chiều kim đồng hồ quanh gốc O của nó trên một mặt phẳng đứng và in bóng vuông góc xuông mặt đất như Hình 12. Vị trí ban đầu của thanh là OA. Hỏi độ dài bóng O'M' của OM khi thanh quay được $3\frac{1}{10}$ vòng là bao nhiêu. Biết độ dài thanh OM là 15cm? Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.

Bài tập 8 trang 20 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Khi xe đạp di chuyển, van V của bánh xe quay quanh trục O theo chiều kim đồng hồ với tốc độ góc không đổi là 11 rad/s (Hình 13). Ban đầu van nằm ở vị trí A. Hỏi sau 1 phút di chuyển, khoảng cách từ van đến mặt đất là bao nhiêu, biết bán kính OA = 58cm? Giả sử độ dày của lốp xe không đáng kể. Kết quả làm tròn đến hàng phần mười.