Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 3 Các công thức lượng giác

Câu hỏi mở đầu

Trong kiến trúc, các vòm cổng bằng đá thường có hình nửa đường tròn để có thể chịu lực tốt. Trong hình bên, vòm cổng được ghét bởi sáu phiến đá hai bên tạo thành các cung AB, BC, CD, EF, FG, GH bằng nhau và một phiến đá chốt ở đỉnh. Nếu biết chiều rộng cổng và khoảng cách từ điểm B đến đường kính AH, làm thế nào để tính được khoảng cách từ điểm C đến AH?

1. Công thức cộng

Khám phá 1 trang 21 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Quan sát Hình 1. Từ hai cách tính tích vô hướng của vectơ $\overrightarrow{OM}$ và $\overrightarrow{ON}$ sau đây:

$\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} = \left | \overrightarrow{OM} \right |.\left | \overrightarrow{ON} \right |cos\left ( \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} \right ) = cos\left ( \overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} \right ) = cos(\alpha -\beta )$

$\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{ON} = x_{M}.x_{N}+y_{M}.y_{N}$

Hãy suy ra công thức tính $cos(\alpha -\beta )$ theo các giá trị lượng giác của $\alpha $ và $\beta $. Từ đó, hãy suy ra công thức $cos(\alpha +\beta )$ bằng cách thay $\beta $ bằng -$\beta $.

Thực hành 1 trang 21 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tính $sin(\frac{\pi }{12})$ và $tan(\frac{\pi }{12})$

2. Công thức góc nhân đôi

Khám phá 2 trang 21 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Hãy áp dụng công thức cộng cho trường hợp $\beta  = \alpha $ và tính các giá trị lượng giác của góc $2\alpha $.

Thực hành 2 trang 22 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tính $cos\frac{\pi }{8}$ và $tan\frac{\pi }{8}$

3. Công thức biến đổi tích thành tổng

Khám phá 3 trang 22 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Từ công thức cộng, hãy tính tổng và hiệu của:

a) $cos(\alpha -\beta )$ và $cos(\alpha +\beta )$

b) $sin(\alpha -\beta )$ và $sin(\alpha +\beta )$

Thực hành 3 trang 22 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tính giá trị của biểu thức $sin\frac{\pi }{24}cos\frac{5\pi }{24}$ và $sin\frac{7\pi }{8}cos\frac{5\pi }{8}$

4. Công thức biến đổi tổng thành tích

Khám phá 4 trang 22 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng cho hai góc lượng giác $a = \frac{\alpha +\beta }{2} $ và $b = \frac{\alpha -\beta }{2} $, ta được các đẳng thức nào?

Thực hành 4 trang 23 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tính $cos\frac{7\pi }{12} + cos\frac{\pi }{12}$.

Vận dụng trang 23 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong bài toán khởi động, cho biết vòm cổng rộng 120cm và khoảng cách từ B đến đường kính AH là 27cm. Tính $sin\alpha $ và $cos\alpha $, từ đó tính khoảng cách từ điểm C đến đường kính AH. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

BÀI TẬP

Bài tập 1 trang 23 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Không dùng máy tính cầm tay, tính các giá trị lượng giác của các góc:

a) $\frac{5\pi }{12}$

b) $-555^{o}$

Bài tập 2 trang 23 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tính $sin(\alpha +\frac{\pi }{6})$, $cos(\frac{\pi }{4}-\alpha )$ biết $sin\alpha = -\frac{5}{13}$ và $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$.

Bài tập 3 trang 24 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tính các giá trị lượng giác của góc $2\alpha $, biết:

a) $sin\alpha  = \frac{\sqrt{3}}{3}$ và $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$

b) $sin\frac{\alpha}{2}  = \frac{3}{4}$ và $\pi <\alpha <2\pi $

Bài tập 4 trang 24 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Rút gọn các biểu thức sau:

a) $\sqrt{2}sin(\alpha +\frac{\pi }{4}) - cos\alpha $

b) $(cos\alpha  + sin\alpha )^{2}-sin2\alpha $

Bài tập 5 trang 24 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tính các giá trị lượng giác của góc $\alpha $, biết:

a) $cos2\alpha = \frac{2}{5}$ và $-\frac{\pi }{2}<\alpha <0$

b) $sin2\alpha = -\frac{4}{9}$ và $\frac{\pi }{2}<\alpha <\frac{3\pi }{4}$

Bài tập 6 trang 24 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Chứng minh rằng trong tam giác ABC, ta có sinA = sinBcosC + sinC.cosB.

Bài tập 7 trang 24 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong Hình 3, tam giác ABC vuông tại B và có hai cạnh góc vuông là AB = 4, BC = 3. Vẽ điểm D nằm trên tia đối của tia CB thoả mãn $\widehat{CAD} = 30^{o}$. Tính tan$\widehat{BAD}$, từ đó tính độ dài cạnh CD.

Bài tập 8 trang 24 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong Hình 4, pít-tông M của động cơ chuyển động tịnh tiến qua lại dọc theo xi-lanh làm quay trục khuỷu IA. Ban đầu I,A,M thẳng hàng. Cho $\alpha $ là góc quay của trục khuỷu, O là vị trị của pít-tông khi $\alpha =\frac{\pi }{2}$ và H là hình chiếu của A lên Ix. Trục khuỷu IA rất ngắn so với độ dài thanh truyền AM nên có thể xem như độ dài MH không đổi và gần bằng MA.

a) Biết IA = 8 cm, viết công thức tính toạ độ $x_{M}$ của điểm M trên trục Ox theo $\alpha $.

b) Làm tròn $\alpha =0$. Sau 1 phút chuyển động, $x_{M}$ = -3cm. Xác định $x_{M}$ sau 2 phút chuyển động. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười.

Bài tập 9 trang 24 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong Hình 5, ba điểm M, N, P nằm ở đầu các cánh quạt tua-bin gió. Biết các cánh quạt dài 31m, độ cao của điểm M so với mặt đất là 30m, góc giữa các cánh quạt là $\frac{2\pi }{3}$ và số đo góc (OA, OM) là $\alpha $

a) Tính $sin\alpha $ và $cos\alpha $

b) Tính sin của các góc lượng giác (OA, ON) và (OA, OP), từ đó tính chiều cao của các điểm N và P so với mặt đất (theo đơn vị mét). Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.