Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 5 Phương trình lượng giác cơ bản

Câu hỏi mở đầu

Trong hình bên, khi bàn đạp xe đạp quay, bóng M của đầu trục quay dao động trên mặt đất quanh điểm O theo phương trình $s = 17cos5\pi t$ với s (cm) là toạ độ của điểm M trên trục Ox là t (giây) là thời gian bàn đạp quay. Làm cách nào để xác định được các thời điểm mà tại đó độ dài bóng OM bằng 10cm?

1. Phương trình tương đương

Khám phá 1 trang 35 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xác định và so sánh tập nghiệm của các phương trình sau:

a) $x - 1 = 0$

b) $x^{2} - 1 = 0$

c) $\sqrt{2x^{2}-1}=x$

Thực hành 1 trang 35 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Chỉ ra lỗi sai trong phép biển đổi phương trình dưới đây:

$x^{2}=2x \Leftrightarrow  \frac{x^{2}}{x}=2 \Leftrightarrow  x=2$

2. Phương trình sinx = m

Khám phá 2 trang 35 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: 

a) Có giá trị nào của x để sinx = 1,5 không?

b) Trong Hình 1, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác có sinx = 0,5. Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Thực hành 2 trang 36 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Giải các phương trình sau:

a) $sinx = \frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $sin(x+30^{o}) = sin(x+60^{o})$

3. Phương trình cosx = m

Khám phá 3 trang 36 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong Hình 3, những điểm nào trên đường tròn lượng giác biểu diễn góc lượng giác x có $cosx = \frac{-1}{2}$? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Thực hành 3 trang 37 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Giải các phương trình sau:

a) $cosx = -3$

b) $cosx = cos15^{o}$

c) $cos(x+\frac{\pi }{12}) = cos\frac{3\pi }{12}$

4. Phương trình tanx =m

Khám phá 4 trang 37 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho T là điểm trên trục tang có toạ độ là $(1;\sqrt{3})$ (Hình 5). Những điểm nào trên đường tròn lượng giác x có $tanx = \sqrt{3}$? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Thực hành 4 trang 38 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Giải các phương trình sau: 

a) $tanx = 0$

b) $tan(30^{o}-3x) =tan75^{o}$

5. Phương trình cotx = m

Khám phá 5 trang 38 toán lớp 11 Chân trời tập 1: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho C là điểm trên trục côtang có toạ độ là (-1; 1) (Hình 7). Những điểm nào biểu diễn góc lượng giác x có cotx = -1? Xác định số đo của các góc lượng giác đó.

Thực hành 5 trang 39 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Giải các phương trình sau:

a) $cotx = 1$

b) $cot(3x + 30^{o}) = cos75^{o}$

6. Giải phương trình lượng giác bằng máy tính cầm tay

Thực hành 6 trang 40 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Sử dụng máy tính cầm tay để giải các phương trình sau:

a) $cosx = 0,4$

b) $tanx = \sqrt{3}$

Kết quả ghi theo đơn vị radian và làm tròn đến hàng phần trăm

Vận dụng trang 40 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Quay lại bài toán khởi động, phương trình chuyển động của bóng đầu trục bàn đạp là $x = 17cos5\pi t$ (cm) với t được đo bằng giây. Xác định các thời điểm t mà tại đó độ dài bóng $\left | x \right |$ vừa bằng 10. Làm tròn kết quả đến hàng phần mười

Bài tập

Bài tập 1 trang 40 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $sin2x = \frac{1}{2}$

b) $sin\left (x-\frac{\pi }{7}  \right ) = sin\frac{2\pi }{7}$

c) $sin4x - cos\left ( x+\frac{\pi }{6} \right ) = 0$

Bài tập 2 trang 40 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $cos\left (x+\frac{\pi }{3} \right ) =\frac{\sqrt{3}}{2}$

b) $cos4x =\frac{5\pi }{12}$

c) $cos^{2}x = 1$

Bài tập 3 trang 41 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Giải các phương trình lượng giác sau: 

a) $tanx = tan55^{o}$

b) $tan\left ( 2x + \frac{\pi }{4} \right ) = 0$

Bài tập 4 trang 41 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Giải các phương trình lượng giác sau:

a) $cot\left ( \frac{1}{2}x + \frac{\pi }{4} \right ) = -1$

b) $cot3x = -\frac{\sqrt{3}}{3}$

Bài tập 5 trang 41 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tại các giá trị nào của x thì đồ thị hàm số y = cosx và y = sinx giao nhau?

Bài tập 6 trang 41 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong Hình 9, khi được kéo ra khỏi vị trí cân bằng ở điểm O và buông tay, lực đàn hồi của lò xo khiến vật A gắn ở đầu của lò xo dao động quanh O. Toạ độ s (cm) của A trên trục Ox vào thời điểm t (giây) sau khi buông tay được xác định bởi công thức $s = 10sin\left ( 10t + \frac{\pi }{2} \right )$. Vào các thời điểm nào thì $s = -5\sqrt{3}$ cm?

Bài tập 7 trang 41 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong Hình 10, ngọn đèn trên hải đăng H cách bờ biển yy' một khoảng HO = 1 km. Đèn xoay ngược chiều kim đồng hồ với tốc độ $\frac{\pi }{10}$ rad/s và chiếu hai luồng ánh sáng về phía đối diện nhau. Khi đèn xoay, điểm M mà luồng ánh sáng của hải đăng rọi vào bờ biển chuyển dộng dọc theo bờ.

a) Ban đầu luồng sáng trùng với đường thẳng HO. Viết hàm số biểu thị toạ độ $y_{M}$ của điệm M trên trục Oy theo thời gian t

b) Ngôi nhà N nằm trên bờ biển với toạ độ $y_{N} = -1$ (km). Xác định các thời điểm t mà đèn hải đăng chiếu vào ngôi nhà