Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 1 Giới hạn của dãy số

1. Giới hạn hữu hạn của dãy số

Giới hạn 0 của dãy số

Khám phá 1 trang 64 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{(-1)^{n}}{n}$

a) Tìm các giá trị còn thiếu trong bảng sau:

b) Với n như thế nào thì $\left | u_{n} \right |$ bé hơn 0,01; 0,001?

c) Một số số hạng của dãy số được biểu diễn trên trục số như Hình 1

Từ các kết quả trên, có nhận xét gì về khoảng cách từ điểm $u_{n}$ đến điểm 0 khi n trở nên rất lớn?

Thực hành 1 trang 65 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim\frac{1}{n^{2}}$

b) $lim\left (-\frac{3}{4} \right )^{n}$

Giới hạn hữu hạn của dãy số

Khám phá 2 trang 65 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n}=\frac{2n+1}{n}$

a) Cho dãy số $(v_{n})$ với $v_{n} = u_{n} - 2$. Tìm giới hạn $limv_{n}$

b) Biểu diễn các điểm $u_{1}, u_{2}, u_{3}, u_{4}$ trên trục số. Có nhận xét gì về vị trí của các điểm $u_{n}$ khi n trở nên rất lớn?

Thực hành 2 trang 65 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim\left ( 2+\left ( \frac{2}{3} \right )^{n} \right )$

b) $lim\left ( \frac{1-4n}{n} \right )$

2. Các phép toán về giới hạn hữu hạn của dãy số

Khám phá 3 trang 66 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Ở trên ta đã biết $lim\left ( 3+\frac{1}{n^{2}} \right ) = lim\frac{3n^{2}+1}{n^{2}}=3$

a) Tìm các giới hạn $lim3$ và $lim\frac{1}{n^{2}}$

b) Từ đó, nếu nhận xét về $lim\left ( 3+\frac{1}{n^{2}} \right )$ và $lim3 + lim\frac{1}{n^{2}}$

Thực hành 3 trang 66 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim\frac{2n^{2}+3n}{n^{2}+1}$

b) $lim\frac{\sqrt{4n^{2}+3}}{n}$

3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

Khám phá 4 trang 67 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Từ một hình vuông có cạnh bằng 1, tô màu một nửa hình vuông, rồi tô màu một nửa còn lại, và cứ tiếp tục như vậy (xem Hình 2).

a) Xác định diện tích $u_{k}$ của phần hình được tô màu lần thứ k (k = 1, 2, 3,....)

b) Tính tổng diện tích $S_{n}$ của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n (n = 1, 2, 3,...)

c) Tìm giới hạn $limS_{n}$ và so sánh giới hạn này với diện tích hình vuông ban đầu.

Thực hành 4 trang 68 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $1+\frac{1}{3}+\left ( \frac{1}{3} \right )^{2}+...+\left ( \frac{1}{3} \right )^{n}+...$

Vận dụng 1 trang 68 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính R (cm) như Hình 3a. Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính $\frac{R}{2}$ rồi chồng lên hình tròn đầu tiên như Hình 3b. Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính $\frac{R}{4}$ rồi chồng lên các hình trước như Hình 3c. Cứ thế tiếp tục. Tính tổng diện tích các hình tròn.

4. Giới hạn vô cực

Khám phá 5 trang 68 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Dựng một dãy hình vuông bằng cách ghép từ các hình vuông đơn vi (cạnh bằng 1 đơn vị độ dài) theo các bước như Hình 4. Kí hiệu $u_{n}$ (đơn vị diện tích) là diện tích hình vuông dựng được ở bước thứ n.

a) Với n như thế nào thì $u_{n}$ vượt quá 10000; 1000000?

b) Cho hình có diện tích S. Với n như thế nào thì $u_{n}$ vượt quá S?

Bài tập

Bài tập 1 trang 69 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tìm các giới hạn sau:

a) $lim\frac{-2n+1}{n}$

b) $lim\frac{\sqrt{16n^{2}-2}}{n}$

c) $lim\frac{4}{2n+1}$

d) $lim\frac{n^{2}-2n+3}{2n^{2}}$

Bài tập 2 trang 69 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tính tổng của các cấp số nhân lùi vô hạn sau:

a) $-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+...+\left ( -\frac{1}{2} \right )^{n}+....$

b) $\frac{1}{4}+\frac{1}{16}+\frac{1}{64}+...+\left ( \frac{1}{4} \right )^{n}+...$

Bài tập 3 trang 69 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Viết số thập phân vô hạn tuần hoàn 0,444... dưới dạng một phân số

Bài tập 4 trang 70 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị độ dài), nối các trung điểm của bốn cạnh để có hình vuông thứ hai. Tiếp tục nối các trung điểm của bốn cạnh của hình vuông thứ hai để được hình vuông thứ ba. Cứ tiếp tục làm như thế, nhận được một dãy hình vuông (xem Hình 5)

a) Kí hiệu $a_{n}$ là diện tích của hình vuông thứ n và $S_{n}$ là tổng diện tích của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính $a_{n}, S_{n} (n = 1,2,3,...)$ là tìm $limS_{n}$ (giới hạn này nếu có được gọi là tổng diện tích của các hình vuông).

b) Kí hiệu $p_{n}$ là chu vi của hình vuông thứ n và $Q_{n}$ là tổng chu vi của n hình vuông đầu tiên. Viết công thức tính $p_{n}$ là $Q_{n} (n=1,2,3,...)$ và tìm $limQ_{n}$ (giới hạn này nếu có được gọi là tổng chu vi của các hình vuông)

Bài tập 5 trang 70 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Bắt đầu bằng một hình vuông $H_{0}$ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông $H_{0}$ thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình $H_{1}$ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của $H_{1}$ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình $H_{2}$ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình $H_{n}(n = 1,2,3,...)$

Ta có: $H_{1}$ có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}$

$H_{2}$ có $5.5=5^{2}$ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{3^{2}}$;...

Từ đó, nhận được $H_{n}$ có $5^{n}$ hình vuông, mỗi hình có cạnh bằng $\frac{1}{3^{n}}$

a) Tính diện tích $S_{n}$ của $H_{n}$ và tính $limS_{n}$

b) Tính chu vi $p_{n}$ của $H_{n}$ và tính $limp_{n}$