3. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạnKhám phá 4 trang 67 toán lớp 11 tập 1 Chân trời:Từ một hình...

Phương pháp giải:
a) Để tính diện tích $u_k$ của phần hình được tô màu lần thứ k, ta thấy sau mỗi lần tô, diện tích được tô màu sẽ giảm đi nửa so với lần trước đó. Vậy $u_k = \frac{1}{2^k}$

b) Để tính tổng diện tích $S_n$ của phần hình được tô màu sau lần tô thứ n, ta sử dụng công thức tổng của dãy số hình học: $S_{n} = \frac{\frac{1}{2}\left [ 1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n} \right ]}{1-\frac{1}{2}} = 1 - \frac{1}{2^n}$

c) Để tính giới hạn $limS_n$, ta thấy rằng khi n tiến đến vô cùng, $\frac{1}{2^n}$ sẽ tiến đến 0, vậy giới hạn sẽ bằng 1. Ta thấy rằng giới hạn này bằng diện tích của hình vuông ban đầu.

Vậy mình có thể viết câu trả lời đầy đủ và chi tiết như sau:
a) $u_{k} = \frac{1}{2^{k}}$
b) $S_{n}= \frac{1}{2}+\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{2^{3}}+...+\frac{1}{2^{n}} = \frac{\frac{1}{2}\left [ 1-\left ( \frac{1}{2} \right )^{n} \right ]}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^{n}}$
c) $limS_{n}= lim\left(1-\frac{1}{2^{n}}\right) = 1$

Ta thấy rằng giới hạn của diện tích được tô màu sau lần tô thứ n là 1, và bằng diện tích của hình vuông ban đầu.