Bài tập 4 trang 70 toán lớp 11 tập 1 Chân trời:Từ hình vuông đầu tiên có cạnh bằng 1 (đơn vị...

Để giải bài toán trên, ta có thể thực hiện như sau:

a)
- Để tính diện tích $a_n$ của hình vuông thứ $n$, ta thấy rằng mỗi lần tiếp tục nối các trung điểm của các cạnh hình vuông, diện tích mới được giảm đi 1/4 của diện tích trước đó. Với hình vuông đầu tiên có diện tích là 1, ta có công thức tổng quát $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$.
- Để tính tổng diện tích $S_n$ của n hình vuông đầu tiên, ta có công thức tổng dãy số học hợp của dãy vô hạn cấp số nhân: $S_n = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + ... + \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}} = 2$.
- Khi $n$ tiến đến vô cùng, ta có $limS_n = 2$.

b)
- Tính chu vi $p_n$ của hình vuông thứ $n$, ta thấy rằng mỗi lần tiếp tục nối các trung điểm của các cạnh hình vuông, chu vi mới được giảm đi 1/√2 lần chu vi trước đó. Với hình vuông đầu tiên có chu vi là 4, ta có công thức tổng quát $p_n = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}^{n-1}}$.
- Tính tổng chu vi $Q_n$ của n hình vuông đầu tiên, ta áp dụng công thức tổng dãy số học hợp của dãy vô hạn cấp số nhân: $Q_n = 4 + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}^2} + ... + 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}^{n-1}} = 4 \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}} \approx 13.66$.
- Khi $n$ tiến đến vô cùng, ta có $limQ_n \approx 13.66$.

Vậy, câu trả lời cho câu hỏi trên là:
a) $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}, S_n = 2, limS_n = 2$.
b) $p_n = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}^{n-1}}, Q_n \approx 13.66, limQ_n \approx 13.66$.