Giải bài tập toán lớp 11 chân trời sáng tạo bài 3 Hàm số liên tục

Câu hỏi mở đầu

Mở đầu trang 80 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Hai đồ thị ở hai hình dưới đây cho biết phí gửi xe y của ô tô con (tính theo 10 nghìn đồng) theo thời gian gửi x (tính theo giờ) của hai bãi xe. Có nhận xét gì về sự thay đổi của số tiền phí phải trả theo thời gian gửi ở mỗi bãi xe?

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Khám phá 1 trang 80 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hàm số $y = f(x) = \left\{\begin{matrix}1; 0\leq x\leq 1\\1+x; 1<x\leq 2\\5-x; 2<x\leq 3\end{matrix}\right.$ có đồ thị như Hình 1

Tại mỗi điểm $x_{0}=1$ và $x_{0}=2$, có tồn tại giới hạn $\lim_{x \to x_{0}}f(x)$ không? Nếu có, giới hạn đó có bằng $f(x_{0})$ không?

Thực hành 1 trang 81 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f(x) = 1-x^{2}$ tại điểm $x_{0}=3$

b) $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}+1; x>1\\-x; x \leq 1\end{matrix}\right.$ tại điểm $x_{0} = 1$ 

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

Khám phá 2 trang 81 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hàm số $y=f(x)= \left\{\begin{matrix}x+1; 1<x\leq 2\\k; x=1\end{matrix}\right.$

a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm $x_{0}\in (1;2)$

b) Tìm $\lim_{x \to 2^{-}}f(x)$ và so sánh giá trị này với f(2)

c) Với giá trị nào của k thì $\lim_{x \to 1^{+}}f(x)=k$?

Thực hành 2 trang 82 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét tính liên tục của hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ trên $[1;2]$

Vận dụng 1 trang 82 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của x (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:

$P(x) = \left\{\begin{matrix}4,5x; 0<x\leq 400\\4x+k; x>400\end{matrix}\right.$ (k là một hằng số)

a) Với k = 0, xét tính liên tục của hàm số P(x) trên $(0;+\infty)$

b) Với giá trị nào của k thì hàm số P(x) liên tục trên $(0;+\infty)$?

3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

Khám phá 3 trang 82 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hai hàm số $y=f(x)=\frac{1}{x-1}$ và $y=g(x)=\sqrt{4-x}$

a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã cho

b) Mỗi hàm số trên liên tục trên những khoảng nào? Giải thích

Thực hành 3 trang 83 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét tính liên tục của hàm số $y = \sqrt{x^{2}-4}$

Thực hành 4 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hàm số $f(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-2x}{x}; x\neq 0\\a; x=0\end{matrix}\right.$

Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$

Vận dụng 2 trang 83 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Một hãng taxi đưa ra giá cước T(x) (đồng) khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:

$T(x)=\left\{\begin{matrix} 10000; 0<x\leq 0,7\\10000 + (x-0,7).14000; 0,7<x\leq 20\\280200 + (x-20).12000; x>20\end{matrix}\right.$

Xét tính liên tục của hàm số T(x)

4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Khám phá 4 trang 83 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hai hàm số $y = f(x) = \frac{1}{x-1}$ và $y = g(x)=\sqrt{4-x}$

Hàm số y = f(x) + g(x) có liên tục tại x = 2 không? Giải thích.

Thực hành 5 trang 84 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét tính liên tục của hàm số

a) $y = \sqrt{x^{2}} + 3-x$

b) $y = \frac{x^{2}-1}{x}.cosx$

Vận dụng 3 trang 84 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O, bán kính bằng 1. Một đường thẳng d thay đổi, luôn vuông góc với trục hoahf, cắt trục hoành tại điểm M có hoành độ x (-1<x<1) và cắt đường tròn (C) tại các điểm N và P (xem Hình 6)

a) Viết biểu thức S(x) biểu thị diện tích tam giác ONP

b) Hàm số y = S(x) có liên tục trên (-1;1) không? Giải thích.

c) Tìm các giới hạn $\lim_{x \to 1^{-}}S(x)$ và $\lim_{x \to 1^{+}}S(x)$

Bài tập

Bài tập 1 trang 84 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét tính liên tục của hàm số:

a) $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}+1; x \geq 0\\1-x; x<0\end{matrix}\right.$ tại điểm x = 0

b) $f(x)=\left\{\begin{matrix}x^{2}+2; x \geq1\\ x; x<1\end{matrix}\right.$ tại điểm x = 1

Bài tập 2 trang 84 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hàm số $\left\{\begin{matrix}\frac{x^{2}-4}{x+2}; x \neq -2\\ a; x=-2\end{matrix}\right.$

Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên $\mathbb{R}$

Bài tập 3 trang 85 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét tính liên tục của hàm số sau:

a) $f(x) = \frac{x}{x^{2}-4}$

b) $g(x) = \sqrt{9-x^{2}}$

c) $h(x) = cosx + tanx$

Bài tập 4 trang 85 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Cho hàm số $f(x) = 2x -sinx$, $g(x) = \sqrt{x-1}$

Xét tính liên tục hàm số $y = f(x).g(x)$ và $y = \frac{f(x)}{g(x)}$

Bài tập 5 trang 85 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:

$C(x)=\left\{\begin{matrix} 60000; 0<x \leq 2\\100000; 2<x \leq 4\\200000; 4<x \leq 24\end{matrix}\right.$

Xét tính liên tục của hàm số C(x).

Bài tập 6 trang 85 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Lực hấp dẫn do Trái đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là: 

$F(r)=\left\{\begin{matrix} \frac{GMr}{R^{3}}; 0<r<R\\ \frac{GM}{r^{2}}; r\geq R\end{matrix}\right.$

Trong đó M là khối lương, R là bán kính của Trái đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F(r) có liên tục trên $(0;+\infty)$ không?