Bài tậpBài tập 1 trang 84 toán lớp 11 tập 1 Chân trời:Xét tính liên tục của hàm số:a)...

Để xét tính liên tục của hàm số, ta cần tính giá trị hàm số tại điểm cần xét và giới hạn của hàm số khi tiến đến điểm đó từ cả hai phía.

a) Xét hàm số $f(x)=\begin{cases}x^{2}+1; & x \geq 0\\1-x; & x<0\end{cases}$ tại điểm $x=0$:
- Tính giá trị của hàm số tại x = 0: $f(0)=1$
- Tính giới hạn của hàm số khi x tiến đến 0 từ phải: $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^+} (x^2+1) = 0^2 + 1 = 1$
- Tính giới hạn của hàm số khi x tiến đến 0 từ trái: $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 0^-} (1-x) = 1-0=1$
Vậy ta có $\lim\limits_{x \to 0} f(x) = f(0)$, do đó hàm số $y=f(x)$ liên tục tại $x=0$.

b) Xét hàm số $f(x)=\begin{cases}x^{2}+2; & x \geq 1\\ x; & x<1\end{cases}$ tại điểm $x=1$:
- Tính giá trị của hàm số tại x = 1: $f(1)=1$
- Tính giới hạn của hàm số khi x tiến đến 1 từ phải: $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^+} (x^2+2) = 1^2 + 2 = 3$
- Tính giới hạn của hàm số khi x tiến đến 1 từ trái: $\lim\limits_{x \to 1^-} f(x) = \lim\limits_{x \to 1^-} (x) = 1$
Vậy ta có $\lim\limits_{x \to 1^+} f(x) \neq \lim\limits_{x \to 1^-} f(x)$, nên hàm số y = f(x) không liên tục tại x = 1.

Vậy kết luận:
a) Hàm số $f(x)=\begin{cases}x^{2}+1; & x \geq 0\\1-x; & x<0\end{cases}$ liên tục tại x = 0.
b) Hàm số $f(x)=\begin{cases}x^{2}+2; & x \geq 1\\ x; & x<1\end{cases}$ không liên tục tại x = 1.