Bài tập 5 trang 70 toán lớp 11 tập 1 Chân trời:Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và...

Bài tập 5 trang 70 toán lớp 11 tập 1 Chân trời: Xét quá trình tạo ra hình có chu vi vô cực và diện tích bằng 0 như sau:

Bắt đầu bằng một hình vuông $H_{0}$ cạnh bằng 1 đơn vị độ dài (xem Hình 6a). Chia hình vuông $H_{0}$ thành chín hình vuông bằng nhau, bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình $H_{1}$ (xem Hình 6b). Tiếp theo, chia mỗi hình vuông của $H_{1}$ thành chín hình vuông, rồi bỏ đi bốn hình vuông, nhận được hình $H_{2}$ (xem Hình 6c). Tiếp tục quá trình này, ta nhận được một dãy hình $H_{n}(n = 1,2,3,...)$

Ta có: $H_{1}$ có 5 hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}$

$H_{2}$ có $5.5=5^{2}$ hình vuông, mỗi hình vuông có cạnh bằng $\frac{1}{3}.\frac{1}{3}=\frac{1}{3^{2}}$;...

Từ đó, nhận được $H_{n}$ có $5^{n}$ hình vuông, mỗi hình có cạnh bằng $\frac{1}{3^{n}}$

a) Tính diện tích $S_{n}$ của $H_{n}$ và tính $limS_{n}$

b) Tính chu vi $p_{n}$ của $H_{n}$ và tính $limp_{n}$