Bài tập 2 trang 23 toán lớp 11 tập 1 Chân trời:Tính $sin(\alpha +\frac{\pi }{6})$,...

Để tính $sin(\alpha +\frac{\pi }{6})$ và $cos(\frac{\pi }{4}-\alpha)$ khi biết $sin\alpha = -\frac{5}{13}$ và $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$, ta thực hiện các bước sau:

1. Tìm $cos\alpha$:
Do $\pi < \alpha < \frac{3\pi}{2}$ nên $cos\alpha < 0$.
Ta có: $cos\alpha = -\sqrt{1-sin^{2}\alpha} = -\frac{12}{13}$.

2. Tính $sin(\alpha +\frac{\pi }{6})$:
$sin(\alpha +\frac{\pi }{6}) = sin\alpha.cos\frac{\pi }{6}+cos\alpha.sin\frac{\pi }{6}$
$= \frac{-5}{13} \times \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{-12}{13} \times \frac{1}{2}$
$= \frac{-5\sqrt{3} -12}{26}$.

3. Tính $cos(\frac{\pi }{4}-\alpha)$:
$cos(\frac{\pi }{4}-\alpha) = cos\frac{\pi }{4}.cos\alpha + sin\frac{\pi }{4}.sin\alpha$
$= \frac{-12}{13} \times \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{-5}{13} \times \frac{\sqrt{2}}{2}$
$= \frac{-17\sqrt{2}}{26}$.

Vậy kết quả là $sin(\alpha +\frac{\pi }{6}) = \frac{-5\sqrt{3} -12}{26}$ và $cos(\frac{\pi }{4}-\alpha) = \frac{-17\sqrt{2}}{26}$.