Bài tập 5. Cho hình bình hành ABCD.a. Chứng minh 2($AB^{2} + BC^{2}) = AC^{2} + BD^{2}$.b. Cho AB =...

a. Để chứng minh $2(AB^{2} + BC^{2}) = AC^{2} + BD^{2}$, ta sử dụng định lí cosin trong tam giác ABC và tam giác ABD:
- Trong tam giác ABC:
$AC^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \angle B$
- Trong tam giác ABD:
$BD^{2} = AB^{2} + AD^{2} - 2AB \cdot AD \cdot \cos \angle A = AB^{2} + BC^{2} + 2AB \cdot BC \cdot \cos \angle B$
Kết hợp hai đẳng thức trên, ta có:
$AC^{2} + BD^{2} = AB^{2} + BC^{2} - 2AB \cdot BC \cdot \cos \angle B + AB^{2} + BC^{2} + 2AB \cdot BC \cdot \cos \angle B$
$= 2(AB^{2} + BC^{2})$
Vậy $2(AB^{2} + BC^{2}) = AC^{2} + BD^{2}$.

b. Giả sử AB = 4, BC = 5, BD = 7, ta có:
$AC = \sqrt{2(4^{2} + 5^{2}) - 7^{2}} = \sqrt{2(16 + 25) - 49} = \sqrt{66}$

Vậy câu trả lời đầy đủ và chi tiết là:
a. $2(AB^{2} + BC^{2}) = AC^{2} + BD^{2}$
b. $AC = \sqrt{66}$