Câu 41: Trang 83 - sách giáo khoa (SGK) toán lớp 9 tập 2Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ...

Để chứng minh $\widehat{A} + \widehat{BSM} = 2\cdot \widehat{CMN}$, ta có thể thực hiện như sau:
- Gọi I là giao điểm của BN và CM.
- Ta có $\widehat{A} = \frac{1}{2} (\text{sđ cung CN} - \text{sđ cung BM})$ (do $\widehat{A}$ là góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn).
- Ta cũng có $\widehat{BSM} = \frac{1}{2} (\text{sđ cung CN} + \text{sđ cung BM})$ (do $\widehat{BSM}$ là góc có đỉnh nằm trong đường tròn).
- Tổng hai góc $\widehat{A}$ và $\widehat{BSM}$ sẽ bằng $\frac{1}{2} (\text{sđ cung CN} - \text{sđ cung BM} + \text{sđ cung CN} + \text{sđ cung BM}) = \text{sđ cung CN}$.
- Vì $\widehat{CMN}$ là góc nội tiếp chắn cung CN của đường tròn nên $\widehat{CMN} = \frac{1}{2}\text{sđ cung CN}$.
- Từ đó suy ra $\widehat{A} + \widehat{BSM} = 2\cdot \widehat{CMN}$.

Vậy ta đã chứng minh được $\widehat{A} + \widehat{BSM} = 2\cdot \widehat{CMN}.