Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 32 Các quy tắc tinh đạo hàm

1. ĐẠO HÀM CỦA MỘT SỐ HÀM SỐ THƯỜNG GẶP 

a, Đạo hàm của hàm số $y=n^{n}(n\in N^{*})$

Hoạt động 1 trang 88 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Nhận biết đạo hàm của hàm số $y = x^ {n}$

a) Tính đạo hàm của hàm số $y = x^{3}$ tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số $y = x^{n}$ ($n \in N$)

a, Đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$

Hoạt động 2 trang 88 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y=\sqrt{x}$ tại điểm x>0.

2. ĐẠO HÀM CỦA TỔNG, HIỆU, TÍCH, THƯƠNG

Hoạt động 3 trang 89 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số $y = x^{3} + x^{2} $tại điểm x bất kì.

b) So sánh: $ (x^{3} + x^{2})'$ và $(x^{3})' +(x^{2})'$.

Luyện tập 1 trang 90 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$

b) $y=(\sqrt{x}+1)(x^{2}+2)$

3. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ HỢP

b) Đạo hàm của hàm số hợp

Hoạt động 4 trang 90 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Cho các hàm số $y=u^{2}$ và $u=x^{2}+1$

a) Viết công thức của hàm số hợp y = $(u(x))^{2}$ theo biến $x$.

b) Tính và so sánh: $y'(x) $và$ y'(u).u'(x).$

Luyện tập 2 trang 91 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=(2x-3)^{10}$

b) $y=\sqrt{1-x^{2}}$

4. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC 

a) Đạo hàm của hàm số y = sin x

Hoạt động 5 trang 91 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x

a) Với$h\neq 0$, biến đổi hiệu $sin(x + h)- sin x$ thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{sin h}{h}=1$ và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số $y=sin x$ tại điểm $x$ bằng định nghĩa

Luyện tập 3 trang 91 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $y=sin (\frac{\pi }{3}-3x)$

b) Đạo hàm của hàm số $y=cosx$

Hoạt động 5 trang 91 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm số $y=cos x$

Bằng cách viết $y=cosx=sin (\frac{\pi }{2}-x)$ tính đạo hàm của hàm số $y = cosx$.

Luyện tập 4 trang 92 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $y=2cos (\frac{\pi }{4}-2x)$

c) Đạo hàm của các hàm số $y =tan x$ và $y = cot x$

Hoạt động 7 trang 92 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số $y = tan x$ và $y = cot x$

a) Bằng cách viết $y=tanx=\frac{sinx}{cosx}(x\neq \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z})$, tính đạo hàm của hàm số $y=tanx$

b) Sử dụng đẳng thức $x=tan(\frac{\pi }{2})-x$ với $x\neq \pi (k\in \mathbb{Z}))$, tính đạo hàm của hàm số $y = cotx.$

Luyện tập 5 trang 92 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $y=2tan^{2}x+3cot(\frac{\pi }{3}-2x)$

5. ĐẠO HÀM CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM LÔGARIT

a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hoạt động 8 trang 92 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến$ t=\frac{1}{x}$, tìm giới hạn $ \lim_{x\rightarrow 0}(1+x)^{\frac{1}{x}}$

b) Với $y=(1+ x)^{\frac{1}{x}}$, tính In y và tìm giới hạn của $\lim_{x\rightarrow 0}lny$.

c) Đặt $t=e^{x}-1$. Tính x theo t và tìm giới hạn $lim_{x\rightarrow 0} \frac{e^{x}-1}{x}$

a) Giới hạn liên quan đến hàm số mũ và hàm số lôgarit

Hoạt động 9 trang 93 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn $\lim_{h\rightarrow 0}\frac{e^{h-1}}{h}=1$ và đẳng thức $e^{x+h}-e^{x}=e^{x}(e^{h}-1)$, tính đạo hàm của hàm số $y=x^e$ tại x bằng định nghĩa

b) Sử dụng đẳng thức $a^{x}=e^{xlna}(0< a\neq 1)$, hãy tính đạo hàm của hàm số $y=a^{x}$

Luyện tập 6 trang 93 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y = e^{x^{2}-x}$

b) $y=3^{sinx}$

c) Đạo hàm của hàm số lôgarit

Hoạt động 10 trang 93 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) sử dụng giới hạn $\lim_{t\rightarrow 0}\frac{ln(1+t)}{t}=1$ và đẳng thức $ln(x+h)-ln{x}=ln(\frac{x+h}{x})=ln(1+\frac{h}{x})$ tính đạo hàm của hàm số $y =Inx$ tại điểm $x > 0$ bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức $\log_{a}x=\frac{lnx}{lna}(0< a\neq 1)$, hãy tính đạo hàm của $y=\log_{a}x$

Luyện tập 7 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của hàm số $\log_{2}(2x-1)$

Vận dụng 2 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Ta đã biết, độ $pH$ của một dung dịch được xác định bởi $pH=-log[H^{+}]$, ở đó $[H^{+}]$ là nồng độ (mol/l) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đỏi của $pH$ đối với nồng độ $[H^{+}]$

BÀI TẬP

Bài tập 9.6 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=x^{3}-3x^{2}+2x+1$

b) $y=x^{2}-4\sqrt{x}+3$

Bài tập 9.7 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)$y=\frac{2x-1}{x+2}$

b) $y=\frac{2x}{x^{2}+1}$

Bài tập 9.8 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=xsin^{2}x$

b) $y=cos^{2}x+sin2x$

c) $sin3x-3sinx$

d) $tanx+cotx$

Bài tập 9.9 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a)$y=2^{3x-x^{2}}$

b)$y=log_{3}(4x+1)$

Bài tập 9.10 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho hàm số $f(x)=2sin^{2}(3x-\frac{\pi }{4}) Chứng minh rằng $\left | f'(x)\leq 6 \right |$ với mọi $x$.

Bài tập 9.11 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình $h(t)= 100 – 4,9t^{2}$, ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm $t = 5$ giây

b) Khi vật chạm đất.

Bài tập 9.12 trang 94 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi $s(t)=12+0,5 sin(4\pi t)$, trong đó $s$ tính bằng centimét và $t$ tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau $t$ giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu?