Giải bài tập toán lớp 11 kết nối tri thức bài 18 Lũy thừa với số mũ thực

1. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ NGUYÊN

Hoạt động 1 trang 5 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Nhân biết lũy thừa với số mũ nguyên

Tính $(1,5)^{2}$; $(-\frac{2}{3})^{2} $;$(\sqrt{2})^{4}$

Luyện tập 1 trang 5 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Một số dương x được gọi là viết dưới dạng kí hiệu khoa học nếu x = a . $10^{m}$, ở đó  $1 \leq a\leq 10$ và m là một số nguyên. Hãy viết các số liệu sau dưới dạng kí hiệu khoa học:

a) Khối lượng của Trái Đất khoảng 5 980 000 000 000 000 000 000 000 kg;

b) Khối lượng của hạt proton khoảng 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 67262 kg.

2. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ HỮU TỈ

Hoạt động 2 trang 6 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Nhận biết khái niệm căn bậc n

a) Tìm tất cả các số thực x sao cho $x^{2} = 4$

b) Tìm tất cả các số thực x sao cho $x^{3}=-8$

Luyện tập 2 trang 6 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính

a)$\sqrt[3]{-125} $

b)$\sqrt[4]{\frac{1}{81}}$

Hoạt động 3 trang 6 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Nhận biết tính chất của căn bậc n 

a) Tính và so sánh: $ \sqrt[3]{-8}. \sqrt[3]{27}  và \sqrt[3]{(-8).27} $

b) Tính và so sánh: $\frac{\sqrt[3]{-8}}{\sqrt[3]{27}} và \sqrt[3]{\frac{-8}{27}}$

Luyện tập 3 trang 7 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Nhận biết lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Cho a là một số thực dương.

a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{1}{n}}$ sao cho $(a^{\frac{1}{n}})^{n}=a$

b) Từ kết quả của câu a, hãy thử định nghĩa $a^{\frac{m}{n}}$, với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho $a^{\frac{m}{n}}= (a^{\frac{1}{n}})^{m}$

Luyện tập 4 trang 7 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Rút gọn biểu thức: 

$A= \frac{X^{\frac{3}{2}}Y + XY^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{X}+\sqrt{Y}}$ (x,y>0)

3. LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ THỰC

a) Khái niệm lũy thừa với số mũ thực

Hoạt động 5 trang 7 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Nhận biết lũy thừa với số mũ thực

Ta biết rằng $\sqrt{2}$ là một số vô tỉ và $\sqrt{2}$ = 1,4142135624...

Gọi $r_{n}$ là dãy số hữu tỉ dùng để xấp xỉ số $\sqrt{2}$, với $r_{1}$ = 1; $r_{2}$=1,4; $r_{3}$ = 1,41; $r_{}$= 1,4142;...

a) Dùng máy tính cầm tay, hãy tính: $3^{r_{1}}$; $3^{r_{2}}$; $3^{r_{3}}$; $3^{r_{4}}$ và $3^{\sqrt{2}}$
b) Có nhận xét gì về sai số tuyệt đối giữa $3^{\sqrt{2}}$ và $3^{r_{n}}$, tức là |$3^{\sqrt{2}}$  $3^{r_{n}}$ |, khi n càng lớn?

Luyện tập 5 trang 8 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Rút gọn biểu 

$A=\frac{(a^{\sqrt{2}-1})^{1+\sqrt{2}}}{a^{\sqrt{5}-1}.a^{3-\sqrt{5}}}$ (a>0)

Vận dụng trang 8 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Ngân hàng thường tính lãi suất cho khách hàng theo thể thức lãi kép theo định kì, tức là nếu đến kì hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn của kì kế tiếp. Nếu một người gửi số tiền P với lãi suất r mỗi kì thì sau N kì, số tiền người đó thu được (cả vốn lẫn lãi) được tính theo công thức lãi kép sau:

$A=P(1+r)^{N}$

Bác Minh gửi tiết kiệm số tiền 100 triệu đồng kì hạn 12 tháng với lãi suất 6% một năm. Giả sử lãi suất không thay đổi. Tính số tiền (cả vốn lẫn lãi) bác Minh thu được sau 3 năm.

BÀI TẬP

Bài tập 6.1 trang 9 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Tính 

a)$(\frac{1}{5})^{-2}$

b)$4^{\frac{3}{2}}$

c)$(\frac{1}{8}^{-\frac{2}{3}})$

d)$(\frac{1}{16})^{-0,75}$

Bài tập 6.2 trang 9 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Thực hiện phép tính:

a)$27^{\frac{2}{3}}+81^{-0,75}-25^{0,5}$

b)$4^{2-3\sqrt{7}}.8^{2\sqrt{7}}$

Bài tập 6.3 trang 9 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Rút gọn các biểu thức sau:

a)$A=\frac{X^{5}Y^{-2}}{X^{3}Y} (X,Y\neq 0)$

b)$B=\frac{X^{2}Y^{-3}}{(X^{-1}Y^{4})^{-3}} (X,Y\neq 0)$

Bài tập 6.4 trang 9 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Cho x,y là các số thực dương. Rút gọn các biểu thưc sau:

a)$A=\frac{\mathrm{x}^{\frac{1}{3}}\sqrt{\mathrm{y}}+\mathrm{y}\frac{1}{3}}{\sqrt[6]{\mathrm{x}}+\sqrt[6]{\mathrm{y}}}$

b) $B=(\frac{\mathrm{x}^{\sqrt{3}}}{y^{\sqrt{3}-1}})^{\sqrt{3}+1}. \frac{x^{-\sqrt{3}-1}}{y^{-2}} $

Bài tập 6.5 trang 9 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Chưng minh rằng: $\sqrt{4+2\sqrt{3}}-\sqrt{4-2\sqrt{3}}=2$

Bài tập 6.6 trang 9 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Không sử dụng máy tính cầm tay, hãy so sánh: 

a)$5^{6\sqrt{3}}$ và $5^{3\sqrt{6}}$

b)$\left ( \frac{1}{2} \right )^{-\frac{4}{3}}$ và$ \sqrt{2}.2^{\frac{2}{3}}$

Bài tập 6.7 trang 9 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT:  Nếu một khoản tiền gốc P được gửi ngân hàng với lãi suất hằng năm r ( được biểu thị dưới dạng số thập phân), được tính lãi n lần trong một năm, thì tổng số tiền A nhận được (cả vốn lẫn lãi) sau N kì gửi cho bởi công thức sau:

$A=P(1+\frac{r}{n})^{N}$

Hỏi nếu bác An gửi tiết kiệm số tiền 120 triệu đồng theo ki hạn 6 tháng với lãi suất không đổi là 5% một năm, thì số tiền thu được (cả vốn lẫn lãi) của bác An sau 2 năm là bao nhiêu?

Bài tập 6.8 trang 9 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 11 tập 2 KNTT: Năm 2021, dân số của một quốc gia ở châu Á là 19 triệu người. Người ta ước tính rằng dân số của quốc gia này sẽ tăng gấp đôi sau 30 năm nữa. Khi đó dân số A (triệu người) của quốc gia đó sau t năm kể từ năm 2021 được ước tính bằng công thức $A=19.2^{\frac{1}{30}}$. Hỏi với tốc độ tăng dân số như vậy thì sau 20 năm nữa dân số của quốc gia này sẽ là bao nhiêu? (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng triệu).