Bài 26.Tìm các đa thức P(x) và Q(x), biết P(x) + Q(x) = $x^{2}+1$ và P(x) - Q(x) = 2x

Phương pháp giải:

Bước 1: Gọi đa thức P(x) = ax^2 + bx + c và đa thức Q(x) = dx^2 + ex + f.

Bước 2: Từ P(x) + Q(x) = x^2 + 1, suy ra:
ax^2 + bx + c + dx^2 + ex + f = x^2 + 1
(a + d)x^2 + (b + e)x + (c + f) = x^2 + 1

So sánh các hệ số của các bậc của hai đa thức, ta có hệ thức sau:
a + d = 1 (1)
b + e = 0 (2)
c + f = 1 (3)

Bước 3: Từ P(x) - Q(x) = 2x, suy ra:
(ax^2 + bx + c) - (dx^2 + ex + f) = 2x
(a - d)x^2 + (b - e)x + (c - f) = 2x

So sánh các hệ số của các bậc của hai đa thức, ta có hệ thức sau:
a - d = 0 (4)
b - e = 2 (5)
c - f = 0 (6)

Bước 4: Giải hệ phương trình (1), (2), (3), (4), (5), (6) để tìm ra các hệ số của P(x) và Q(x):
- Từ (1) và (4), ta có a = 1/2 và d = 1/2
- Từ (2) và (5), ta có b = 1 và e = -1
- Từ (3) và (6), ta có c = 1/2 và f = 1/2

Vậy đa thức P(x) = 1/2x^2 + x + 1/2 và đa thức Q(x) = 1/2x^2 - x + 1/2.

Câu trả lời: Đa thức P(x) = 1/2x^2 + x + 1/2 và đa thức Q(x) = 1/2x^2 - x + 1/2.