Bài tập 3.12 trang 56 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 1 KNTT: Cho M là một điểm nằm trong tam...
Câu hỏi:
Bài tập 3.12 trang 56 sách giáo khoa (SGK) toán lớp 8 tập 1 KNTT: Cho M là một điểm nằm trong tam giác đều ABC. Qua M kẻ các đường thẳng song song với BC, CA, AB lần lượt cắt AB, BC, CA tại các điểm P, Q, R
a) Chứng minh tứ giác APMR là hình thang cân
b) Chứng minh rằng chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC
c) Hỏi với vị trí nào của M thì tam giác PQR là tam giác đều?
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Đức
Phương pháp giải:a) Ta có MR // AP, từ đó suy ra APMR là hình thang.Ta cũng có PM // BQ, kết hợp với ABC là tam giác đều nên $\widehat{A}=\widehat{B}$.Từ đó, ta có APMR là hình thang cân.b) Tương tự như câu a), ta có QMRC và PMQB cũng lần lượt là hình thang cân.Suy ra PR = MA, RQ = MC, PQ = MB.Do đó, chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.c) Tam giác PQR sẽ là tam giác đều khi PR = RQ = PQ.Tức là M nằm ở tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.Vậy, đáp án cho câu hỏi:a) Tứ giác APMR là hình thang cân.b) Chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.c) Tam giác PQR là tam giác đều khi M là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
Câu hỏi liên quan:
c) For △PQR to be equilateral, we require that P, Q, and R are collinear and QR = RP = PQ. This implies that P, Q, and R are symmetric with respect to O, the midpoint of △ABC. Thus, the position of M must lie on the median of △ABC.
b) Let's denote the lengths of PA, PB, and PC as x, y, z. The perimeter of △PQR is x + y + z. Since △ABC is equilateral, we have MA = MB = MC. Therefore, x = d, y = d, z = d. Thus, the perimeter of △PQR is equal to the sum of the lengths of MA, MB, and MC.
a) From the given conditions we have AP || BC, BQ || AC, CR || AB. Let's call the intersection points of AP, BQ, and CR with the respective sides of △ABC as P, Q, and R. It's clear that APMR is a trapezoid with bases AP and MR.
c) Để tam giác PQR là tam giác đều, ta cần có điều kiện là P, Q, R thẳng hàng và QR = RP = PQ. Tức là P, Q, R là các điểm đối xứng qua O, là trung tuyến của tam giác ABC. Vậy vị trí của M cần nằm trên trung tuyến của tam giác ABC.
b) Gọi x, y, z lần lượt là độ dài các cạnh PA, PB, PC. Ta có chu vi tam giác PQR là x + y + z. Do tam giác ABC đều nên MA = MB = MC = d. Từ đó, x = d, y = d, z = d. Vậy chu vi tam giác PQR bằng tổng độ dài MA + MB + MC.