Bài tập 3.16. Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng:a....

a. Ta có: $\widehat{AMB} + \widehat{AMC} = 180^\circ$ (hai góc bù nhau)
Suy ra: $\cos \widehat{AMB} = -\cos \widehat{AMC}$
Vậy $\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0$

b. Áp dụng định lí cosin cho tam giác AMB có: $AB^{2} = MA^{2} + MB^{2} - 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$
Hay: $MA^{2} + MB^{2} - AB^{2} = 2MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}$

Áp dụng định lí cosin cho tam giác AMC có: $AC^{2} = MA^{2} + MC^{2} - 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$
Hay: $MA^{2} + MC^{2} - AC^{2} = 2MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}$

c. Không mất tính tổng quát, giả sử AB < AC.
Kẻ đường cao AH của tam giác ABC.
Ta có: $MA^{2} = AH^{2} + HM^{2} = AB^{2} - BH^{2} + \left(\frac{BC}{2} - BH\right)^{2}$ \\
$= AB^{2} + \frac{BC^{2}}{4} - BC \cdot BH$ (1)

Tương tự ta có: $MA^{2} = AC^{2} + \frac{BC^{2}}{4} - BC \cdot CH$ (2)

Cộng vế của (1) và (2) ta có:

$MA^{2} = \frac{2(AB^{2} + AC^{2}) - BC^{2}}{4}$

Câu trả lời đã được viết lại đầy đủ và chi tiết hơn.