Bài tập 3.3. Chứng minh các hệ thức sau:a. $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha =1$b. $1+tan^{2}\alpha...
Câu hỏi:
Bài tập 3.3. Chứng minh các hệ thức sau:
a. $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha =1$
b. $1+tan^{2}\alpha =\frac{1}{cos^{2}\alpha } (\alpha \neq 90^{o})$
c. $1+cot^{2}\alpha =\frac{1}{sin^{2}\alpha } (0^{o}<\alpha<180^{o})$
Câu trả lời:
Người trả lời: GV. Đỗ Đăng Long
Để chứng minh các hệ thức trên, ta có thể làm như sau:a. Chứng minh $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$:Trên nửa đường tròn đơn vị, với góc $\alpha$, ta gọi N và P lần lượt là hình chiếu của điểm M trên trục Ox và Oy. Khi đó, $sin\alpha = OP$ và $cos\alpha = ON$. Ta chứng minh rằng $OP^2 + ON^2 = 1$.Do $\Delta PMO \cong \Delta NOM$, nên $OP = MN$.Áp dụng định lí Pythagoras trong tam giác NOM, ta có $MN^2 + ON^2 = OM^2 = 1$.Suy ra $OP^2 + ON^2 = 1$.Vậy $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$.b. Chứng minh $1 + tan^{2}\alpha = \frac{1}{cos^{2}\alpha}$:Chứng minh tương tự như trên, ta sẽ có $1 + tan^{2}\alpha = \frac{1}{cos^{2}\alpha}$ với điều kiện $\alpha \neq 90^{o}$.c. Chứng minh $1 + cot^{2}\alpha = \frac{1}{sin^{2}\alpha}$:Tương tự như trên, ta sẽ chứng minh được $1 + cot^{2}\alpha = \frac{1}{sin^{2}\alpha}$ với điều kiện $0^{o} < \alpha < 180^{o}$.Vậy là ta đã chứng minh được các hệ thức trên.
Câu hỏi liên quan:
{ "content1": "Để chứng minh hệ thức a, ta sử dụng công thức $sin^{2}\alpha + cos^{2}\alpha = 1$ là công thức cơ bản của sin và cos.", "content2": "Để chứng minh hệ thức b, ta bắt đầu từ biểu thức $1 + tan^{2}\alpha$ và chuyển đổi thành dạng dễ tính bằng cách sử dụng các quy tắc của sin và cos.", "content3": "Để chứng minh hệ thức c, ta bắt đầu từ biểu thức $1 + cot^{2}\alpha$ và tương tự như hệ thức b, chuyển đổi thành dạng dễ tính với sinh và cosh", "content4": "Với hệ thức a, ta có thể chứng minh bằng cách sử dụng hình học hoặc sử dụng nguyên ly sine và cosin.", "content5": "Hệ thức b và c cũng có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các biến đổi giống như với hệ thức a.", "content6": "Tất cả các hệ thức trên đều là những công thức căn bản trong toán học và quan trọng trong việc giải các bài toán liên quan đến hàm sin, cos, tan và cot."}