Bài tập 4.33. Cho tam giác ABC không cân. Gọi D, E, F theo thứ tự là chân các đường cao kẻ từ A, B,...

Phương pháp giải:
- Gọi H là trực tâm và O là tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC.
- Khi đó, D, E, F tương ứng là hình chiếu vuông góc của H trên BC, CA, AB và M, N, P theo thứ tự là hình chiếu vuông góc của O trên BC, CA, AB.
- Áp dụng định lí chiếu, ta có:
+ \(\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{OH}.(\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OB}) = \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OC} - \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OB}\)
+ \(\overrightarrow{NE}.\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{CA} = \overrightarrow{OH}.(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OC}) = \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OC}\)
+ \(\overrightarrow{PF}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{OH}.(\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OA}) = \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OH}.\overrightarrow{OA}\)
- Từ đó suy ra:
\(\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{NE}.\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{PE}.\overrightarrow{AB} = 0\).

Vậy, đã chứng minh được \(\overrightarrow{MD}.\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{NE}.\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{PE}.\overrightarrow{AB} = 0\).