Giải bài tập sách bài tập (SBT) toán lớp 10 kết nối tri thức bài 5 Giá trị lượng giác của một góc từ 0o đến 180o

Bài tập 3.1. Tính giá trị của các biểu thức:

a) A = sin$45^{o}$ + 2sin$60^{o}$ + tan$120^{o}$ + cos$135^{o}$;

b) B = tan$45^{o}$ . cot$135^{o}$ - sin$30^{o}$ . cos$120^{o}$ - sin$60^{o}$ . cos$150^{o}$;

c) C = $cos^{2}$$5^{o}$ + $cos^{2}$$25^{o}$ + $cos^{2}$$45^{o}$ + $cos^{2}$$65^{o}$ + $cos^{2}$$85^{o}$;

d) D = $\frac{1}{1 + tan^{2}73^{o}}$ - 4tan$75^{o}$ . cot$105^{o}$ + $12sin^{2}$$107^{o}$ - 2tan$40^{o}$ . cos$60^{o}$ . tan$50^{o}$;

e) E = 4tan$32^{o}$ . cos$60^{o}$ . cot$148^{o}$ + $\frac{5cot^{2}108^{o}}{1 + tan^{2}18^{o}}$ + 5$sin^{2}$$72^{o}$

Bài tập 3.2. Cho góc $\alpha$, $90^{o}$ < $\alpha$ < $180^{o}$ thỏa mãn sin$\alpha$ = $\frac{3}{4}$. Tính giá trị của biểu thức:

F = $\frac{tan\alpha + 2cot\alpha}{tan\alpha + cot\alpha}$

Bài tập 3.3. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^{o}$ < $\alpha$ < $180^{o}$, tan$\alpha$ = 2. Tính giá trị của các biểu thức sau: 

a) G = 2sin$\alpha$ + cos$\alpha$;

b) H = $\frac{2sin\alpha + cos\alpha}{sin\alpha - cos\alpha}$.

Bài tập 3.4*. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^{o}$ < $\alpha$ < $180^{o}$, tan$\alpha$ = $\sqrt{2}$. Tính giá trị của biểu thức

K = $\frac{sin^{3}\alpha + sin\alpha . cos^{2}\alpha + 2sin^{2}\alpha . cos\alpha  - 4cos^{3}\alpha}{sin\alpha - cos\alpha}$ 

Bài tập 3.5. Chứng minh rằng:

a) $sin^{4}\alpha + cos^{4}\alpha = 1 - 2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$;

b) $sin^{6}\alpha + cos^{6}\alpha = 1 - 3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$;

c*) $\sqrt{sin^{4}\alpha + 6cos^{2}\alpha + 3} + \sqrt{cos^{4}\alpha + 4sin^{2}\alpha}$ = 4. 

Bài tập 3.6. Góc nghiêng của Mặt Trời tại một vị trí trên Trái Đất là góc nghiêng giữa tia nắng lúc giữa trưa với mặt đất. Trong thực tế, để đo trực tiếp góc này, vào giữa trưa (khoảng 12 giờ), em có thể dựng một thước thẳng vuông góc với mặt đất, đo độ dài của bóng thước trên mặt đất. Khi đó, tang của góc nghiêng Mặt Trời tại vị trí đặt thước bằng tỉ số giữa độ dài của thước và độ dài của bóng thước. Góc nghiêng của Mặt Trời phụ thuộc vào vĩ độ của vị trí đo và phụ thuộc vào thời gian đo trong năm (ngày thứ mấy trong năm). Tại vị trí có vĩ độ $\phi$ và ngày thứ N trong năm, góc nghiêng của Mặt Trời $\alpha$ còn được tính theo công thức sau:

$\alpha = 90^{o} - \phi  - |cos((\frac{2(N+10)}{365}- m) 180^{o})| . 23,5^{o}$

trong đó m = 0 nếu 1 $\leq$ N $\leq$ 172, m = 1 nếu 173 $\leq$ N $\leq$ 355, m = 2 nếu 356 $\leq$ N $\leq$ 365.

a) Hãy áp dụng công thức trên để tính góc nghiêng của Mặt Trời vào ngày 10/10 trong năm không nhuận (năm mà tháng 2 có 28 ngày) tại vị trí có vĩ độ $\phi$ = $20^{o}$.

b) Hãy xác định vĩ độ tại nơi em sinh sống và tính góc nghiêng của Mặt Trời tại đó theo hai cách đã được đề cập trong bài toán (đo trực tiếp và tính theo công thức) và so sánh hai kết quả thu được.

Chú ý. Công thức tinh toán nói trên chinh xác tới $\pm$$0,5^{o}$.

Góc nghiêng của Mặt Trời có ảnh hưởng tới sự hấp thụ nhiệt từ Mặt Trời của Trái Đất, tạo nên các mùa trong năm trên Trái Đất, chẳng hạn, vào mùa hè, góc nghiêng lớn nên nhiệt độ cao.