Bài tập 3.2. Cho góc $\alpha$, $90^{o}$ < $\alpha$ < $180^{o}$ thỏa mãn sin$\alpha$ =...

Để giải bài toán này, ta có các bước sau:

Bước 1: Tính giá trị của cos$\alpha$ bằng cách sử dụng công thức cos$\alpha$ = $\sqrt{1 - sin^{2}\alpha}$ và biết sin$\alpha$ = $\frac{3}{4}$.

cos$\alpha$ = $\sqrt{1 - \left(\frac{3}{4}\right)^{2}}$ = $\sqrt{1 - \frac{9}{16}}$ = $\sqrt{\frac{7}{16}}$ = $\frac{\sqrt{7}}{4}$

Bước 2: Tính giá trị của biểu thức F = $\frac{tan\alpha + 2cot\alpha}{tan\alpha + cot\alpha}$

F = $\frac{\frac{sin\alpha}{cos\alpha} + 2\frac{cos\alpha}{sin\alpha}}{\frac{sin\alpha}{cos\alpha} + \frac{cos\alpha}{sin\alpha}}$

F = $\frac{\frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} + 2\frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}}}{\frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} + \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}}}$ = $\frac{\frac{3\sqrt{7} + 8}{\sqrt{7}}}{\frac{3\sqrt{7} + 4}{3}}$ = $\frac{3(3\sqrt{7} + 8)}{\sqrt{7}(3\sqrt{7} + 4)}$ = $\frac{9\sqrt{7} + 24}{3\sqrt{49} + 4\sqrt{7}}$ = $\frac{9\sqrt{7} + 24}{21 + 4\sqrt{7}}$

Với $\alpha$ là một góc nằm trong góc phần tư thứ hai, ta có $sin\alpha = \frac{3}{4}$, $cos\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}$.

Do đó, $F = \frac{23}{16}$. Đây chính là câu trả lời chính xác cho bài toán.