Bài tập 3.5. Chứng minh rằng:a) $sin^{4}\alpha + cos^{4}\alpha = 1 - 2sin^{2}\alpha...

Để chứng minh các phương trình trên ta sử dụng công thức đổi cos thành sin:
a) Ta có: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$
Do đó, $sin^4\alpha + cos^4\alpha = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)^2 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha = 1 - 2sin^2\alpha cos^2\alpha$

b) Ta có: $sin^2\alpha + cos^2\alpha = 1$
Do đó, $sin^6\alpha + cos^6\alpha = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)(sin^4\alpha - sin^2\alpha cos^2\alpha + cos^4\alpha) = (sin^2\alpha + cos^2\alpha)(sin^4\alpha + 2sin^2\alpha cos^2\alpha + cos^4\alpha - 3sin^2\alpha cos^2\alpha) = 1 - 3sin^2\alpha cos^2\alpha$

c) Ta có: $\sqrt{sin^4\alpha + 6cos^2\alpha + 3} + \sqrt{cos^4\alpha + 4sin^2\alpha}$
$= \sqrt{(1-cos^2\alpha)^2 + 6cos^2\alpha + 3} + \sqrt{cos^4\alpha + 4sin^2\alpha}$
$= \sqrt{4 + 4cos^2\alpha + cos^4\alpha} + \sqrt{1 + 4sin^2\alpha + sin^4\alpha}$
$= \sqrt{(2+cos^2\alpha)^2} + \sqrt{(1+sin^2\alpha)^2}$
$= 2 + cos^2\alpha + 1 + sin^2\alpha$
$= 4$

Vậy kết quả của các phương trình trên là:
a) $sin^{4}\alpha + cos^{4}\alpha = 1 - 2sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$
b) $sin^{6}\alpha + cos^{6}\alpha = 1 - 3sin^{2}\alpha cos^{2}\alpha$
c*) $\sqrt{sin^{4}\alpha + 6cos^{2}\alpha + 3} + \sqrt{cos^{4}\alpha + 4sin^{2}\alpha} = 4$