Bài tập 3.4*. Cho góc $\alpha$ thỏa mãn $0^{o}$ < $\alpha$ < $180^{o}$, tan$\alpha$ =...

Để giải bài toán này, ta có thể sử dụng các định lý về sin, cos, và tan của một góc trong tam giác vuông.

Ta đã biết được rằng tan$\alpha$ = $\sqrt{2}$, từ đó suy ra sin$\alpha$ = $\sqrt{2}$cos$\alpha$.

Tiếp theo, ta thấy biểu thức cần tính chứa các hàm số sin$\alpha$ và cos$\alpha$. Ta có thể biểu diễn các hàm số sin và cos theo tan của góc $\alpha$ như sau:

sin$\alpha$ = $\sqrt{2}$cos$\alpha$ và cos$\alpha$ = $\frac{1}{\sqrt{2}}$ sin$\alpha$

Now, replacing these expressions into the expression for K, we get:

K = $\frac{\sqrt{2}cos^{3}\alpha + \sqrt{2}cos\alpha . cos^{2}\alpha + 2\sqrt{2}cos^{2}\alpha . cos\alpha - 4cos^{3}\alpha}{\sqrt{2}cos\alpha - cos^{2}\alpha}$

= $\frac{2\sqrt{2}cos\alpha + \sqrt{2}cos\alpha + 4 - 4}{\sqrt{2}sin\alpha - cos\alpha}$

= $\frac{2\sqrt{2} + \sqrt{2} + 4 - 4}{\sqrt{2} . 3 - 3}$

= $\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$

Vậy, giá trị của biểu thức K là $\sqrt{2}(\sqrt{2} + 1)$.