Giải bài tập sách bài tập (SBT) toán lớp 10 kết nối tri thức Bài tập cuối chương IV

A. Trắc nghiệm

Bài tập 4.39. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Xét các vectơ có hai điểm mút lấy từ các điểm A, B, C, D và O. Số các vectơ khác vectơ - không và cùng phương với AC là

A. 6.     B.3.

C. 4.     D. 2.

Bài tập 4.40. Cho đoạn thẳng AC và B là một điểm nằm giữa A, C. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào là một khẳng định đúng?

A. Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{CB}$ cùng hướng.

B. Hai vectơ $\overrightarrow{CA}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng.

C. Hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ cùng hướng.

D. Hai vectơ $\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{BA}$ cùng hướng.

Bài tập 4.41. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi K, L, M, N tương ứng là trung điểm các cạnh AB, BC, CD, DA. Trong các vectơ có đầu mút lây từ các điểm A, B, C, D, K, L, M, O, có bao nhiêu vectơ bằng vectơ $\overrightarrow{AK}$?

A.2.     B. 6.

C.4.     D. 8.

Bài tập 4.42. Cho hình thoi ABCD có độ dài các cạnh bằng 1 và $\widehat{DAB} = 120^{o}$. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD}$.     B. $\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AC}$.

C. |$\overrightarrow{BD}$| = 1.     D. |$\overrightarrow{AC}$| = 1.

Bài tập 4.43. Cho tam giác ABC đều, trọng tâm G, có độ dài các cạnh bằng 3. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AG}$ bằng

A. $\sqrt{3}$.     B. $\frac{3\sqrt{3}}{2}$.

C. $\frac{\sqrt{3}}{2}$     D. $2\sqrt{3}$. 

Bài tập 4.44. Cho tam giác ABC vuông tại A và AB = 3, AC = 4. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{CB} + \overrightarrow{AB}$ bằng

A. $\sqrt{13}$.     B. $2\sqrt{13}$.

C.4.     D. 2.

Bài tập 4.45. Cho tam giác ABC có AB = 2, BC = 4 và $\widehat{ABC} = 60^{o}$. Độ dài của vectơ $\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BA}$ bằng

A.2.     B. $\sqrt{19}$.

C.4.     D. $\frac{\sqrt{19}}{2}$

Bài tập 4.46. Cho tam giác ABC và điểm I sao cho $\overrightarrow{IB} + 2\overrightarrow{IC} = \overrightarrow{0}$. Khẳng định nào sau đây là một khẳng định đúng?

A. $\overrightarrow{AI} = 2\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$.     B. $\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}$.

C. $\overrightarrow{AI} = \frac{\overrightarrow{AB} - 2\overrightarrow{AC}}{-3}$.     D. $\overrightarrow{AI} = \frac{\overrightarrow{AB} + 2\overrightarrow{AC}}{3}$.

Bài tập 4.47. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC. Khẳng

định nào sau đây là một khẳng định đúng?

A. $\overrightarrow{GA} = 2\overrightarrow{GM}$.     B. $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 3\overrightarrow{AG}$.

C. $\overrightarrow{AM} = 3\overrightarrow{MG}$.     D. $3\overrightarrow{GA} = 2\overrightarrow{AM}$.

Bài tập 4.48. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(-3; 1), B(2; -1), C(4; 6). Trọng tâm G của tam giác ABC có toạ độ là

A. (1; 2).     B. (2; 1).

C. (1; -2).     D. (-2; 1).

Bài tập 4.49. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(-3; 3), B(5; -2) và G(2; 2). Toạ độ của điểm C sao cho G là trọng tâm tam giác ABC là

A. (5; 4).     B. (4; 5).

C. (4; 3).     D. (3; 5).

Bài tập 4.50. Cho hình vuông ABCD với độ dài cạnh bằng a. Tích vô hướng $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC}$ bằng

A. $a^{2}\sqrt{2}$.     B. $\frac{a^{2}}{\sqrt{2}}$.

C. $a^{2}$.     D. $\frac{a^{2}}{2}$.

Bài tập 4.51. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng khác $\overrightarrow{0}$. Khi đó $\overrightarrow{a} .  \overrightarrow{b} = |\overrightarrow{a}| . |\overrightarrow{b}|$ tương đương với

A. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.     B. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

C. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.     D. $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$

Bài tập 4.52. Cho hai vectơ $\overrightarrow{a}$, $\overrightarrow{b}$ cùng khác $\overrightarrow{0}$. Khi đó $\overrightarrow{a} .  \overrightarrow{b} = |-\overrightarrow{a}| . |\overrightarrow{b}|$ tương đương với

A. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng phương.     B. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ ngược hướng.

C. $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ cùng hướng.     D. $\overrightarrow{a} \perp \overrightarrow{b}$

Bài tập 4.53. Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và $\widehat{ABC} = 60^{o}$. Tích vô hướng $\overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CA}$ bằng

A. $\sqrt{3}$.     B. $-\sqrt{3}$.

C. 3.     D. -3.

Bài tập 4.54. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; -1), B(-1; 5) và C(3m; 2m - 1). Tất cả các giá trị của tham số m sao cho AB $\perp$ OC là

A. m = -2.     B. m = 2.

C. m = $\pm$2.     D. m = 3.

Bài tập 4.55. Cho tam giác ABC vuông tại A với AB = 1, AC = 2. Lấy M, N, P tương ứng thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho 2BM = MC, CN = 2NA, AP = 2PB. Giá trị của tích vô hướng $\overrightarrow{AM} . \overrightarrow{NP}$ bằng

A. $\frac{2}{3}$.     B. $\frac{-1}{2}$

C. 0.     D. 1.

Bài tập 4.56. Cho tam giác ABC đều các cạnh có độ dài bằng 1. Lấy M, N, P lần lượt thuộc các cạnh BC, CA, AB sao cho BM = 2MC, CN = 2NA và AM $\perp$ NP. Tỉ số $\frac{AP}{AB}$ bằng

A. $\frac{5}{12}$.     B. $\frac{7}{12}$.

C. $\frac{5}{7}$.     D. $\frac{7}{5}$.

Bài tập 4.57. Cho tam giác ABC đều có độ dài các cạnh bằng 3a. Lấy điểm M thuộc cạnh BC sao cho MB = 2MC. Tích vô hướng của hai vectơ $\overrightarrow{MA}$ và $\overrightarrow{MC}$ bằng

A. $\frac{a^{2}}{2}$.     B. $-\frac{a^{2}}{2}$.

C. $a^{2}$.     D. $-a^{2}$.

Bài tập 4.58. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thoả mãn $|\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{MB}| = |\overrightarrow{MC} - \overrightarrow{AC}|$ là:

A. đường tròn tâm A bán kính BC.

B. đường thẳng đi qua A và song song với BC.

C. đường tròn đường kính BC.

D. đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

Bài tập 4.59. Cho hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm của BC, AD. Gọi I, J lần lượt là giao điểm của BD với AM, CN. Xét các vectơ khác $\overrightarrow{0}$, có đầu mút lấy từ các điểm A, B, C, D, M, N, I, J, O.

a) Hãy chỉ ra những vectơ băng vectơ $\overrightarrow{AB}$; những vectơ cùng hướng với $\overrightarrow{AB}$.

b) Chứng minh rằng BI = IJ = JD.

Bài tập 4.60. Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M,N, không trùng với B và C sao cho BM = MN = NC.

a) Chứng minh rằng hai tam giác ABC và AMN có cùng trọng tâm.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Đặt $\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{v}$. Hãy biểu thị các vectơ sau qua hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$: $\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{GM}$, $\overrightarrow{GN}$.

Bài tập 4.61. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\widehat{CAB} = 60^{o}$.

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{BC}$

b) Lấy các điểm M, N thoả mãn $2\overrightarrow{AM} +3\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$ và $\overrightarrow{NB} + x\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}$ $(x \neq - 1)$. Xác định x sao cho AN vuông góc với BM.

Bài tập 4.62. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M, N theo thứ tự là trung điểm các cạnh AB, CD. Lấy P thuộc đoạn DM và Q thuộc đoạn BN sao cho DP = 2PM, BQ = xQN. Đặt $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{v}$

a) Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{AP}, \overrightarrow{AQ}$ qua hai vectơ $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$.

b) Tìm x để A, P, Q thẳng hàng.

Bài tập 4.63. Cho tam giác ABC với trọng tâm G. Lấy điểm A', B' sao cho $\overrightarrow{AA'} = 2\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{BB'} = 2\overrightarrow{CA}$. Gọi G' là trọng tâm của tam giác A'B'C. Chứng minh rằng GG' song song với AB.

Bài tập 4.64. Cho tứ giác lồi ABCD, không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm AB, CD. Gọi K, L, M, N lần lượt là trung điểm của AF, CE, BF, DE.

a) Chứng minh rằng tứ giác KLMN là một hình bình hành.

b) Gọi I là giao điểm của KM, LN. Chứng minh rằng E, I, F thằng hàng.

Bài tập 4.65. Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{DAB} = \widehat{ABC} = 90^{o}$, BC = 1, AB = 2 và AD = 3. Gọi M là trung điểm của AB.

a) Hãy biểu thị các vectơ $\overrightarrow{CM}, \overrightarrow{CD}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$.

b) Gọi N là trung điểm CD, G là trọng tâm tam giác MCD và I là điểm thuộc cạnh CD sao cho 9IC = 5ID. Chứng minh rằng A, G, I thẳng hàng.

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AI và BI.

Bài tập 4.66. Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng

$\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} . \overrightarrow{BD} = 0$

Bài tập 4.67. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba vectơ $\overrightarrow{a}$ = (1; 2), $\overrightarrow{b}$ = (3; -4), $\overrightarrow{c}$ = (-5; 3).

a) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a} . \overrightarrow{b}$, $\overrightarrow{b} . \overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{c} . \overrightarrow{a}$

b) Tìm góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b} + \overrightarrow{c}$

Bài tập 4.68. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(-2; 1), B(1; 4) và C(5; 2).

a) Chứng minh rằng A, B, C là ba đỉnh của một tam giác. Tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC.

b) Tìm toạ độ trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC.

Bài tập 4.69. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(2; -1), B(5; 3) và C(-2; 9).

a) Tìm điểm D thuộc trục hoành sao cho B, C, D ng hàng.

b) Tìm điểm E thuộc trục hoành sao cho EA + EB nhỏ nhất.

c) Tìm điểm F thuộc trục tung sao cho vecTơ $\overrightarrow{FA} + \overrightarrow{FB} + \overrightarrow{FC}$ có độ dài ngắn nhất.

Bài tập 4.70. Một ô tô có khối lượng 2,5 tấn chạy từ chân lên đỉnh một con dốc thẳng. Tính công của trọng lực tác động lên xe, biết dốc dài 50 m và nghiêng $15^{o}$ so với phương nằm ngang (trong tính toán, lấy gia tốc trọng trường bằng 10 m/s2.">m/$s^{2}$.