Bài tập 4.66. Cho bốn điểm A, B, C, D trong mặt phẳng. Chứng minh rằng$\overrightarrow{AB}...

Để giải bài toán trên, ta sử dụng các định lý và công thức về vectơ cơ bản.

Phương pháp giải 1:
Để chứng minh rằng $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} . \overrightarrow{BD} = 0$, ta có thể sử dụng tính chất của tích vô hướng giữa các vectơ.
Ta biết rằng $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CD} . \overrightarrow{AB}$ và tích vô hướng giữa hai vectơ là không thay đổi khi ta đổi vị trí của chúng.
Do đó, ta có:
$\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} . \overrightarrow{BD}$
= $\overrightarrow{CD} . \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} . \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BD} . \overrightarrow{CA}$
Sử dụng tính chất nhóm và phân phối của tích vô hướng, ta có:
= $\overrightarrow{CD} . (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA})$
= $\overrightarrow{CD} . \overrightarrow{AD}$
= 0
Vậy ta đã chứng minh được rằng $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} . \overrightarrow{BD} = 0$.

Phương pháp giải 2:
Sử dụng các công thức về vectơ đã cho trong đề bài, ta thay thế các giá trị vào phương trình cần chứng minh:
$\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} . \overrightarrow{BD}$
= $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} . (\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD}) + (\overrightarrow{BA} - \overrightarrow{BC}) . (\overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD})$
= $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{AB} . \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BC}^{2} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA} . \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{BA} . \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BC}^{2} - \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CD}$
= $(\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BA} . \overrightarrow{CD}) + (\overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BA} . \overrightarrow{BC}) + (\overrightarrow{BC}^{2} - \overrightarrow{BC}^{2}) + (\overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CD} - \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{CD})$
= 0
Do đó, ta chứng minh được rằng $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} . \overrightarrow{BD} = 0$.

Như vậy, câu trả lời đầy đủ và chi tiết cho câu hỏi trên là: Để chứng minh rằng $\overrightarrow{AB} . \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} . \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} . \overrightarrow{BD} = 0$, ta có thể giải theo cách sử dụng tính chất của tích vô hướng giữa các vectơ hoặc sử dụng các công thức và tính chất về vectơ đã cho để thay thế và rút gọn phương trình. Đều cho kết quả cuối cùng là 0, nên ta đã chứng minh được bài toán.