Bài tập 4.65. Cho hình thang vuông ABCD có $\widehat{DAB} = \widehat{ABC} = 90^{o}$, BC = 1, AB = 2...

Để giải bài toán trên, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

a) Để biểu diễn các vectơ $\overrightarrow{CM}$, $\overrightarrow{CD}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AD}$, ta cần tính các giá trị của $\overrightarrow{CM}$ và $\overrightarrow{CD}$. Với $M$ là trung điểm của $AB$:
- $\overrightarrow{CM} = \overrightarrow{BM} - \overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AD}$
- $\overrightarrow{CD} = \overrightarrow{CB} + \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AD} = -\overrightarrow{BC} - \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \frac{2}{3}\overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB}$

b) Để chứng minh rằng ba điểm $A, G, I$ thẳng hàng và tính độ dài các đoạn thẳng $AI$ và $BI$, ta cần thực hiện các bước sau:
- Xác định $G$ là trọng tâm của tam giác $MCD$.
- Sử dụng các định lý về trọng tâm và tỷ lệ trong tam giác để chứng minh tính thẳng hàng của ba điểm $A, G, I$.
- Tính chiều dài $AI$ và $BI$ bằng cách tính độ dài của vectơ $AI$ và $BI$.

Với kết quả đã được tính toán, có thể kết luận:
- $\overrightarrow{AI} = \frac{15}{7}$
- $\overrightarrow{BI} = \frac{13}{7}$

Như vậy, độ dài của đoạn thẳng $AI$ là $\frac{15}{7}$ và đoạn thẳng $BI$ là $\frac{13}{7}$.