Bài tập 4.60. Trên cạnh BC của tam giác ABC lấy các điểm M,N, không trùng với B và C sao cho BM =...

Phương pháp giải:
a) Ta có BM = MN = NC, do đó vector $\overrightarrow{MB}$ và $\overrightarrow{NC}$ có cùng độ dài và ngược hướng. Vì vậy, tổng vector $\overrightarrow{AA} + \overrightarrow{BM} + \overrightarrow{CN}$ bằng vector không, suy ra tam giác ABC và tam giác AMN có cùng trọng tâm.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC, ta có $\overrightarrow{G} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B} + \overrightarrow{C})$. Đặt $\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{v}$.

Khi đó, $\overrightarrow{GA} = \overrightarrow{G} - \overrightarrow{A} = -(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})$.

Tương tự, $\overrightarrow{GM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{u} + \frac{1}{3}\overrightarrow{v}$ và $\overrightarrow{GN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{u} + \frac{2}{3}\overrightarrow{v}$.

Vậy, các vectors $\overrightarrow{GA}$, $\overrightarrow{GM}$, $\overrightarrow{GN}$ khi biểu diễn qua $\overrightarrow{u}$ và $\overrightarrow{v}$ là:
- $\overrightarrow{GA} = -(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v})$,
- $\overrightarrow{GM} = \frac{2}{3}\overrightarrow{u} + \frac{1}{3}\overrightarrow{v}$,
- $\overrightarrow{GN} = \frac{1}{3}\overrightarrow{u} + \frac{2}{3}\overrightarrow{v}$.

Đây là câu trả lời chi tiết và đầy đủ cho câu hỏi đề ra.