Bài tập 4.53. Cho tam giác ABC có AB = 1, BC = 2 và $\widehat{ABC} = 60^{o}$. Tích vô hướng...

Để giải bài toán này, ta cần sử dụng định lí côsin và định lí sin trong tam giác.

Phương pháp giải:
1. Sử dụng định lí côsin trong tam giác ABC:
Đặt D là điểm đối xứng của B qua C. Ta có:
\(AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2AB \cdot AC \cdot \cos \widehat{ABC}\)
\(=> AC^2 = 1 + 4 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos 60^o\)
\(=> AC^2 = 3\)
\(=> AC = \sqrt{3}\)

2. Sử dụng định lí sin trong tam giác ABC:
Áp dụng định lí sin ta có:
\(\frac{AB}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{AC}{\sin \widehat{ABC}\)
\(=> \frac{1}{\sin \widehat{ACB}} = \frac{\sqrt{3}}{\sin 60^o}\)
\(=> \sin \widehat{ACB} = \frac{1}{2}\)
\(=> \widehat{ACB} = 30^o\)
\(=> \widehat{ACD} = 180^o - 30^o = 150^o\)

Kết hợp tích vô hướng hai vectơ \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{CD} \cdot \overrightarrow{CA} \cdot \cos(\overrightarrow{CD}, \overrightarrow{CA}) = 2 \cdot 2 \cos 150^o = -3\)

Vậy câu trả lời cho câu hỏi trên là: D. -3.