Bài tập 4.61. Cho tam giác ABC có AB = 4, AC = 5 và $\widehat{CAB} = 60^{o}$.a) Tính tích vô hướng...

Để giải bài toán trên, ta thực hiện các bước sau:

a) Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$:
- Ta có $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \widehat{CAB} = 4 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 10$.
- Để tính $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC}$, ta sử dụng công thức $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} \cdot (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}) = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}^2 = 10 - 4^2 = -6$.

b) Tìm x sao cho AN vuông góc với BM:
- Từ điều kiện $2\overrightarrow{AM} + 3\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0}$, ta suy ra $\overrightarrow{BM} = -\overrightarrow{AB} + 3\overrightarrow{AC}$.
- Tương tự, từ $\overrightarrow{NB} + x\overrightarrow{NC} = \overrightarrow{0}$, ta có $(1 + x)\overrightarrow{AN} = \overrightarrow{AB} + x\overrightarrow{AC}$.
- Giải phương trình $(1 + x)\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{BM} = 65x + 14$.
- Để AN vuông góc với BM, ta cần $\overrightarrow{AN} \cdot \overrightarrow{BM} = 0$.
- Thay $65x + 14 = 0$, ta tính được $x = -\frac{14}{65}$.

Vậy, x = -14/65 là giá trị của x để AN vuông góc với BM.