Bài tập 4.64. Cho tứ giác lồi ABCD, không có hai cạnh nào song song. Gọi E, F theo thứ tự là trung...

Phương pháp giải:

a) Ta có:
- $\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC})$
- $\overrightarrow{FC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC})$

$\Rightarrow \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FC} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{FD} + \overrightarrow{FC})$

Nhưng $\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{DB} = \overrightarrow{DC}$ (do AB // CD) $\Rightarrow \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FC} = 0$

Tương tự, $\overrightarrow{BE} + \overrightarrow{FD} = 0$.

Vậy ta có: $\overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{FD} = 0$

$\Rightarrow \overrightarrow{AE} + \overrightarrow{FC} = \overrightarrow{BE} + \overrightarrow{FD}$

Suy ra $KLMN$ là hình bình hành.

b) Gọi I là trung điểm của KM, LN. Ta có:

$\overrightarrow{EI} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{EM} + \overrightarrow{EK}) = \frac{1}{2}(\frac{1}{2}\overrightarrow{ED} + \frac{1}{2}\overrightarrow{EB}) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{EB}) = \frac{1}{4}(\overrightarrow{ED} + \overrightarrow{EC})$

$\overrightarrow{EI} = \frac{1}{4}(2\overrightarrow{EF}) = \frac{1}{2}\overrightarrow{EF}$

Suy ra $\overrightarrow{EI}$ và $\overrightarrow{EF}$ cùng hướng, nghĩa là ba điểm E, I, F thẳng hàng.

Đáp án:

a) Tứ giác KLMN là hình bình hành.

b) Ba điểm E, I, F thẳng hàng.