Bài tập 4.68. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ba điểm A(-2; 1), B(1; 4) và C(5; 2).a) Chứng minh...

Phương pháp giải:

a) Để chứng minh rằng ba điểm A, B, C là ba đỉnh của một tam giác, ta cần kiểm tra xem ba điểm này có thẳng hàng hay không. Để làm điều này, ta tính vector $\overrightarrow{AB}$ và vector $\overrightarrow{AC}$:
$\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 1-(-2) \\ 4-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5-(-2) \\ 2-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}$

Ta thấy vector $\overrightarrow{AB}$ và vector $\overrightarrow{AC}$ không cùng phương, do đó ba điểm A, B, C không thẳng hàng.

Để tìm toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC, ta dùng công thức tính trọng tâm:
$G\left(\frac{x_A + x_B + x_C}{3}, \frac{y_A + y_B + y_C}{3}\right)$
$G\left(\frac{-2 + 1 + 5}{3}, \frac{1 + 4 + 2}{3}\right)$
$G\left(\frac{4}{3}, 1\right)$

b) Gọi H$(x_{H}, y_{H})$ là trực tâm của tam giác ABC. Từ định nghĩa, ta có:
$\overrightarrow{BH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{BA} + \overrightarrow{BC})$
$\overrightarrow{CH} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CA} + \overrightarrow{CB})$

Tính toán ta được:
$\overrightarrow{BH} = \begin{pmatrix} \frac{x_H - 1}{2} \\ \frac{y_H - 4}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \end{pmatrix}$
$\overrightarrow{CH} = \begin{pmatrix} \frac{x_H - 5}{2} \\ \frac{y_H - 2}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} \end{pmatrix}$

Giải hệ phương trình ta tìm được $H\left(\frac{2}{15}, \frac{13}{5}\right)$.

Gọi I$(x_{I}, y_{I})$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Ta cũng dùng điều kiện $\overrightarrow{IH} = 3\overrightarrow{IG}$ để tìm tọa độ của I. Tương tự, giải hệ phương trình ta có $I\left(\frac{9}{5}, \frac{1}{5}\right)$.

Vậy câu trả lời đầy đủ là:
a) G($\frac{4}{3}$; 1)
b) H($\frac{2}{15}$; $\frac{13}{5}$), I($\frac{9}{5}$; $\frac{1}{5}$)